Remarque IV. Les formules

[1] (^^a)h=-ab, {-^a){-b)=.ab, [2]

expriment des conventions faites en supposant que a et 6 sont des nombres positifs ; mais il est facile de voir que, par suite des mêmes conventions, ces formules ne cessent pas d'avoir lieu, lors même que a eib désignent des nombres négatifs.

La première formule peut, en effet, s'énoncer de la manière suivante :

Si, dans un produit, on change le signe de l'un des facteurs^ le produit change de signe sans changer de valeur.

Et la seconde formule peut s'énoncer en disant :

Si, dans un produit, on change les signes des deux facteurs, le produit ne change ni de signe ni de valeur.

Or, nos conventions rendent ces deux propositions évidentes. Car considérons un produit ab de deux facteurs quelconques; si ces deux facteurs sont de même signe, leur produit est positif (55); en changeant le signe de l'un d'eux, ils deviennent de signes différents, et leur produit est négatif. C'est l'inverse, si les deux facteurs primitifs sont de signes contraires.

40. Remarque V. Lorsque, dans un produit de plusieurs facteurs, quelques-uns sont négatifs, le produit se définit comme en arithmétique : c'est le résultat ohtenu en multipliant le premier facteur par le second, puis le produit effectué par le troisième facteur, puis le résultat par le quatrième, et ainsi de suite.

Il suit de là, que le produit aura même valeur absolue que si tous les facteurs étaient regardés comme positifs. Il ^era précédé du signe -\-, si le nombre des facteurs négatifs est pair y et du signe — , si ce nombre est impair.

Pour le démontrer, remarquons que Ton peut toujours introduire + 1 comme premier facteur. Dans les multiplications successives que l'on aura à effectuei' pour former le produit, le signe qui, d'après cela, est d'ahord 4-, changera autant de fois qu'ij y a de facteurs négatifs; et comme deux changements consécutifs ramènent le signe -|- , il est évident que le signe sera + si le nombre des changements est pair, et — dans le cas contraire.

Il résulte évidemment de ce qui précède, que les puissances paires d'un nombre négatif sont positives, et que les puissances impaires sont négatives.

41. Définition de la division, quand le dividende et le DiYiSEUR NE SONT PAS TOUS DEUX POSITIFS. Si l'on uomme quotient de deux nombres A et B, un troisième nombre qui, m.ultiplié par le diviseur B, reproduit le dividende A, il résulte des conventions précédentes, que la valeur absolue du quotient de deux nombres ne dépend pas de leurs signes, et que ce quotient est positif si le dividende et le diviseur ont le même signe, et négatif dans le cas contraire.

En effet, si le dividende est positif, le quotient doit avoir le môme signe que le diviseur ; et si le dividende est négatif, le

quotient doit avoir un signe contraire à celui du diviseur (54). Celte règle des signes est consignée dans le tableau suivant ;

42. Multiplication d'un nombre quelconque de polynômes. Pour faire le produit d^un nombre quelconque de polynômes, il faut d* abord multiplier le premier par le second, puis le résultat par le troisième, et ainsi de suite. Le produit effectué de deux polynômes étant toujours un polynôme, il suffira, quel que soit le nombre des facteurs, de savoir multiplier deux polynômes l'un par l'autre (54).

Soient Pj, Pg, Pj, P* les différents polynômes dont on veut former le produit; en multipliant Pi par Pj, on obtiendra un produit Qi, dont les termes sont (55) les produits de tous les termes de Pj par tous ceux de P^; on multipliera Qi par P„ et on obtiendra un produit O2, qui sera la somme des produits de tous les termes de Qi par tous ceux de P3, c'est-à-dire la somme de tous les produits de trois facteurs obtenus, en prenant un facteur parmi les termes de Pj, un parmi les termes de P2, et un enfin parmi les termes de Pj. On multipliera ensuite Qj par P4. Le résultat Q3 de cette multiplication sera la somme des produits des termes de Q2 par ceux de P», c'est-à-dire la somme de tous les produits de quatre facteurs pris respectivement dans les polynômes P^, Pj, P3, P4. On pourra continuer indéfiniment le raisonnement; et l'on verra que le produit des polynômes Pi, P2, Psv. Pn, ^st la somme de tous les produits de n facteurs formés avec un terme de P,, un terme de Pg, un terme de P3,... et un terme deV^.

§ IV. Produit des polynômes ordonnés.

45. Ce que c'est qu'ordonner un polynôme. Ordonner un polynôme par rapport à une lettre, c'est disposer ses termes dans

un ordre tel, qu'en les considérant depuis le preniier jusqu'au dernier, les exposants de cette lettre aillent tous en diminuant, ou tous en augmentant. Ainsi

est un polynôme ordonné par rapport aux puissances décroissantes de la lettre a; ; et le polynôme

est ordonné par rapport aux puissances croissantes de la lettre &, et aussi par rapport aux puissances décroissantes de la lettre a.

Un polynôme est complet, lorsqu'il contient la lettre ordonnatrice à tous les degrés, à partir du degré le plus élevé. Le premier des deux polynômes précédents est complet; le second est incomplet, car le terme en a'^b* manque. Un polynôme complet renferme autant de termes, plus un, qu'il y a d'unités dans l'exposant de la lettre ordonnatrice : car il contient un terme indépendant de la lettre ordonnatrice, ou de degré zéro.

Lorsque plusieurs termes du polynôme contiennent la lettre ordonnatrice avec le même exposant, on réunit tous ces termes en un seul, en mettant en facteur (51) la puissance de cette lettre; et l'on regarde le multiplicateur polynôme que l'on obtient ainsi, comme le coefficient de cette puissance. On place d'ailleurs ce coefficient dans une parenthèse, ou bien on le dispose en colonne verticale à gauche de la puissance.

Exemple. Le polynôme

a'^x^—2ahx^+¥x^ + 2aH^ — kh^x^ — a*x^ — a'^b^x^- + h^x^ + Sa'b^x^ — 2ah^x^ s'écrira

ia^-2ah + h') x^ + (2 a^ — kh^) x* — (a< + a'-b' — h') x^ + {3a^¥ — 2a¥)x\

ou bien

x^ + 3a'¥ 1 x^ — 2ab'

—aW-

La barre verticale sépare ainsi de son coefficient chaque puissance de la lettre ordonnatrice.

44. Exemples de multiplications ordonnées. Dans la pratique, on ordonne les deux facteurs par rapporta la même lettre, s'ils ont une lettre commune; et l'on place le multiplicateur sous le multiplicande, comme en arithmétique. Les produits partiels du multiplicande par chaque terme du multiplicateur sont alors

ordonnés par rapport à la môme lettre ; et Ton peut facilement placer les termes semblables les uns sous les autres, et en opérer ensuite la réduction.

Exemple I. Les deux polynômes sont complets. Multiplicande.... S»*— bax^— 4aV + la^x — 2a* Multiplicateur.... 1x^— bax"^— 3a^x + W

Produits f 2x^ 6a;' — lOaxe— ga^a;* + Uo^x* — 4a*a;3

du \—bax^ — 15aa;6+25a2ic5 + 20a%* — 35a*a;3+10a5a;2 multipUc*«j— 3a'a? — da^x^+lba^x* + Ua'^x^—21a^x^ ~{- Ga^x

par N + 4a3 +12a3a;* — 20a4a;3 — 16aV + 28a6a; — 8a'

Produit simplifié. 6a;' — 25aa;«-j- Sa-'aî^ + eia^a;* — 47a*a;3 — 27a'a;- + 34a6a; — Sa'

Exemple II. Les polynômes sont incomplets. On laisse des intervalles vides, pour pouvoir placer les termes semblables les uns sous les autres.

Multiplicande ba^—3a'^h—2œ'h^-rh^

Multiplicateur.... 3a^—:kih^-]-2b^

Produits f 3a\. Voa^—9a'b — 6a^h^ + Sa^b»

muiupiiciel— 5ct&* -2ba^b''+\ha'h^ +I0a'h^ — 5a&'

par (+2b3. +i0a^h^—6a*h^ —Wb^ +26»

Produit simplifié. 15a*— 9a'b— 25a«bH l9a^b^—6a''b^+V6a^h^—ka''¥-bah'^+2h^

Exemple III. Les polynômes ont des coefficients polynômes.

Multiplicande . .

Multiplicateur..

-bx^ . ^ — abx

ir2 + a2

-ab

—là^h