a=b« — 2ab

— ka^b^

+ 3ab^

— 3ab3

+ 3aM

+ 4bs

+ ab»

— 2a2b5 + 2ab6 + b'

a; — 3o*b3 + 2a^b< + 3a2b*' — 2ab'

Produit

total simplifié

On voit que, dans ce cas, l'opération est plus longue, mais la règle sst toujours la même : on multiplie toujours tous les termes du multiplicande par tous ceux du multiplicateur , et l'on opère la réduction des termes semblables.

§ V. Théorèmes et applications.

4o. Nombre minimum des termes du produit. Lorsque Ton multiplie un polynôme par un autre, on vient de voir que le produit peut renfermer des termes semblables, qui se réduisent

les uns avec les autres. Mais il existe dans chaque produit deux termes au moins qui ne se réduisent avec aucun autre. Ce sont, lorsque les polynômes sont ordonnés par rapport aux puissances décroissantes d'une même lettre, le produit du premier terme du multiplicande par le premier terme du multiplicateur, et celui du dernier terme du multiplicande parle dernier terme du multiplicateur.

En effet, un terme quelconque du produit est le produit d'un terme du multiplicande par un terme du multiplicateur, et l'exposant de la lettre ordonnatrice dans ce terme est la somme des exposants dont cette lettre est affectée dans les deux facteurs. Par conséquent, dans le produit du premier terme du multiplicande et du premier terme du multiplicateur, l'exposant de la lettre ordonnatrice est la somme des exposants les plus élevés; il est donc plus fort qu'aucun autre. De même, dans le produit des derniers termes, l'exposant est la somme des exposants les moins élevés ; il est plus faible qu'aucun autre. Les deux termes ainsi obtenus ne peuvent donc se réduire avec les autres.

Le produit de deux polynômes, ou d'un polynôme par un monôme, a donc toujours au moins deux termes.. Il peut d'ailleurs ne renfermer que ces deux-là.

Exemple : Multiplicande x'> + x^ +x^ + x* +x^ -^x^-\-x +1

Multiplicateur — x —1

Produit simplifié, a;" —1

On voit qu'ici tous les termes se détruisent, à l'exception de x^ et de — 1, qui sont les produits des premiers termes entre eux et des derniers termes entre eux.

46. Remarque. Si les deux polynômes contiennent plusieurs lettres, on pourra les ordonner successivement par rapport à chacune d'elles; et, en appliquant la remarque précédente, on obtiendra un certain nombre de termes, qui devront subsister sans réduction dans le produit. Par exemple, si l'on multiplie les deux polynômes suivants, qui sont ordonnés par rapport

a'—a%' + a''b''-b\ela'+a'b—a'b'—ab\ les termes a^Xa^ on a^\ et (— i>*) {—ab^) ou ab% seront irréduc-

tibles dans le produit. Mais si Ton ordonne ces deux polynômes par rapport à 6,

— aW—b^+a'b^ + a', et —a^b' — ab'+a'b + a^

ce seront les produits ( — a^b^) ( — a^b'') ou fl*6", et a\a* ou a", qui devront subsister dans le produit. Le terme a*° se présente, comme on voit, de deux manières différentes : et nous trouvons seulement trois termes distincts, qui, dans le résultat, ne peuvent éprouver aucune réduction.

47. Nombre maximum des termes du produit. Le produit du multiplicande par l'un des termes du multiplicateur contient autant de termes qu'il y en a dans le multiplicande. Donc, si le résultat n*offre pas de termes semblables à réduire, le nombre des termes du produit total sera le produit du nombre des termes du multiplicande par le nombre des termes du multiplicateur. C'est là évidemment le plus grand nombre de termes du résultat.

48. Produits homogènes. Nous nous contenterons d'énoncer le théorème suivant :

Le produit de plusieurs polynômes homogènes (8) est un polynôme homogène, dont le degré est la somme des degrés des facteurs.

49. Théorème. Le produit de la somme de deux nombres a e^ b par leur différence est égal à la différence des carrés des deux nombres. Ce théorème résulte immédiatement de l'application de la règle de multiplication au produit de {cL-\-b) par {ci — b) : il fournit la formule

Cette formule est importante : elle sert surtout à décomposer la différence de deux carrés en un produit de deux facteurs, dont l'un est la somme et Vautre la différence des racines.

Exemples :

10 (^2 ( a& + 6«)' — (a« — aô + 67= (2a2 + 2&«) 2ab — kab (a* + 6') ; fm-\-n\'^ fm — n\^ 2m ^ 2n

' (-i^)-(-2-)=i-xt='»«-

50. Théorème. Le carré d'un polynôme est égal à la somme des carrés de ses différents termes, plus deux fois la somme de leurs produits deux à deux.

Alg. B. I« Partie. 3

ââi LIVRE I.

Le théorème est connia pour le binôme :

Il se démontre aisément pour le trinôme (a + 6 -f- cj» Car re présentons par s la somme a-]-b des deux premiers termes ; nous aurons, en appliquant la formule précédente,

{a + b + c)^= (5 + cf = s« + 25C + c\

Remplaçant 5 par sa valeur, et effectuant les calculs, nous aurons :

ia + b-{-cy=^{ai-by-{-2{a-i-b)c + G'

= a^-\-2ab + b^-\-2ac-\-2bc + c^ = a^-\-b'--{-c^ + 2ab-r^ac+2bc.

Il est facile d'étendre le théorème à un polynôme de n termes , .

Car représentons par s la somme des (n — 1) premiers termes ; nous aurons :

'P'=:(a + b + c + ,...+k + ry = {s + r;~ = s^-{-2sl-{-l\

Si Ton suppose que le Ihcorème est vj ai pour le polynôme 5, 5^ renferme les carrés des termes a, b, c,... k et leurs doubles produits deux à deux; 2sl renferme les doubles produits des termes a, b, c... k par le nouveau terme l, et l^ est le carré de ce dernier terme. Donc P^ renferme les carrés de tous les termes de P> ainsi que leurs doubles produits deux à deux. Donc, si le théorème a lieu pour un polynôme de (n — 1) termes, il subsiste pour un polynôme qui contient n termes, c'est-à-dire un terme de plus. Or il est démontré pour un polynôme de trois termes; donc il subsiste pour un polynôme de quatre termes : mais, s'il a heu pour un polynôme de quatre termes, notre raisonnement montre qu'il a Ucu pour un polynôme de cinq termes, et ainsi de suite. Ainsi le théorème est général.

On formule souvent ainsi ce théorème :

(lay = I.a' + 2i:ab,

le signe 2 indiquant la somme d'une série de termes analogues à celui que ce signe précède.

Le raisonnement que nous venons de faire, à l'aide duquel on

s'élève d*une formule démantrée pour un cas particulier à une formule générale, doit être remarqué : on l'emploie souvent en algèbre.

Lorsque Ton veut effectuer dans la pratique le carré d'un polynôme, on suit dans le calcul la marche fournie parla démonstration précédente, c'est-à-dire que l'on fait le carré du premier terme, le double produit du premier par le second, et le carré du second ; puis le double produit de la somme des deux premiers par le troisième, et le carré du troisième ; puis le double produit de la somme des trois premiers par le quatrième, et le carré du quatrième ; et ainsi de suite. D'ailleurs, pour réduire plus aisément les termes semblables, on dispose les calculs, comme on le voit dans l'exemple suivant, de manière que chaque ligne horizontale soit terminée par le carré d'un terme.

Soit à effectuer le carré du polynôme

'6x^ — 4ax3 oa-x^ -f- -la^x — a* ; on aura : 9^^

— 24aa;'+16a2x6

■j-l2a^x^—iea*x*^2Qa^x^+ 4a«x2 — 6a^x<+ 8a^x^+\0a^x^—ia'x-{-a»

Carré simplifié.. ^x^-2iax'—liLa^x^-{-^2a^x'-i- •èa'*x'—i2a'^x^-{-na^x'—ita'x-^a^

ol. Remarque. Le carré d'un polynôme contient au moins quatre termes qui n' éprouvent jms de réduction. Ce sont, lorsque le polynôme est ordonné, les deux premiers et les deux derniers. En effet, soient a et p les exposants de la lettre ordonnatrice dans les deux premiers termes du polynôme, les exposants de celte lettre, dans les deux premiers termes du carré, seront 2 a et a+ 3; or ces deux exposants sont différents, puisque, par hypothèse, a >1^; et ils sont évidemment supérieurs à ceux dont la lettre est affectée dans les autres termes du carré. Donc ces deux termes ne sauraient éprouver aucune réduction. On verra de même, que le double produit des deux derniers termes du polynôme et le carré du dernier sont irréductibles.

EXERCICES

I. Démontrer que le cube d'un polynôme est égal à la somme des cubes des termes, plus trois fois la somme des produits de l'un des termes par le

carré d'un autre, plus six fois la somme des produits des termes trois à trois ; ou que

(i:a)' = Sa3 + 3Sa2&4-6Sa{)C.

La démonstration est analogue à celle du n° SO.