X. Si l'on fait, dans le polynôme

ax^ + 2hxy-\-cy\ la substitution a; = our ' + p t/,

il prendra la forme &.x^ + 2Bxy + Cy ^ ;

et l'on aura la formule

B» — AC = (6^— ac) (a^'— pa^.

XL Vérifier les égalités

l^x*=:{l+x^-\-xyJÏ) (1+a;' — arv^2); l+xe = (l + a;2) (l+x' + x^S) (1 + a^— a^V^). XIL Si l'on pose B = b^-\-bc + c', C = b'c + bc\ on aura la formule 4B» — 27G» = (& — c)^ (25^ + 56c + 2c^)^ et, par conséquent, kB^ — 270^ est toujours positif.

Les formules VIII, X, XI, XII, se vérifient en effectuant les calculs-, les deux membres deviennent alors identiques.

XIII. Démontrer que , si deux nombres entiers a et & sont tous deux pairs, ou tous deux impairs, la demi-somme de leurs carrés est une somme de deux carrés.

On s'appuie sur le théorème (50).

XIV. Si a, 6, m sont des nombres entiers, et si l'expression a*4-2m&* est un carré, démontrer que a^-|- mb^ est la somme de deux carrés.

On applique le théorème précédent.