DIVISION ALGÉBRIQUE

S2. Lorsqu'on a à diviser une expression algébrique A par une autre B, on indique le quotient, en plaçant le dividende au-dessus du diviseur, et en les séparant par une barre horizon-

taie. On écrit 5, et, le plus souvent, il est Impossible de transformer la formule en une autre plus simple. Mais lorsque A et B renferment des lettres communes, il ar-

rive quelquefois que Ton peut simplifier le quotient; et c'est ce qu'on appelle alors effectuer la division. Nous allons étudier l'opération à ce point de vue pour les monômes et les polynômes ; nous donnerons la règle à suivre dans chaque cas, et nous étudierons en môme temps les conditions, sans lesquelles le calcul n'est pas possible.

55. La division algébrique présente trois cas : !• division d'un monôme par un monôme ; 2° division d'un polynôme par un monôme ; 3° division d'un polynôme par un polynôme.

§ I. Division des monômes.

S4. Règle de division. Soit à diviser 75 a^y^c^â^ par 25 a'6c'; et supposons qu'il existe un monôme entier qui, multiplié par le diviseur, reproduise le dividende. D'après la règle de multiplication (28), le coefficient 75 du dividende doit être le produit du coefficient 25 du diviseur par celui du quotient: ce dernier s'obtiendra donc en divisant 75 par 25; il sera 3. D'après la même règle, l'exposant 7 de la lettre a dans le dividende doit être la somme de l'exposant 3 de la même lettre dans le diviseur, et de celui de cette lettre dans le quotient; on obtiendra donc ce dernier en retranchant 3 de 7 ; il sera 4. De môme l'exposant de b sera 3. Gomme c entre avec le môme exposant 2 au dividende et au diviseur, cette lettre n'entrera pas au quotient; et comme d entre au dividende sans entrer au diviseur, elle devra se trouver au quotient avec son exposant 5. Le quotient est donc Sa^bhlK La méthode est générale ; elle conduit à la règle suivante : Pour diviser un monôme entier par un autre: 1° on divise le coefficient du dividende par celui du diviseur; 2° on écrite une fois chacune^ les lettres qui entrent au dividende avec un exposant plus grand qu'au diviseur; 3° on affecte chacune de ces lettres d'un exposant égal à la différence de ceux qu'elle possède dans les deux monômes. Si une lettre n'entre qu*au dividende, elle entre au quotient avec son exposant,

S3. Conditions de possibilité. Nous avons supposé, pour faire le raisonnement, que le quotient existait sous forme d'un monôme entier. Or il est évident que cette hypothèse sera vérifiée, toutes les fois que le coefficient du dividende sera divisible par celui

dméÔBmur; qii*en outre, les lettres du diviseur entreront toutes dans le dividende; et qu'enfin V exposant de chacune déciles au diviseur sera au plus égal à celui dont elle est affectée au dividende. Car si ces conditions sont remplies, on pourra, en appliquant la règle (M)^ trouver un monôme entier, qui multiplié par le diviseur, reproduira le dividende : ce sera donc le quotient effectué.

Mais si une ou plusieurs de ces trois conditions ne sont pas réalisées, il sera impossible d'obtenir le quotient sous forme d'un monôme entier. Car, si le quotient existait sous cette forme, le raisonnement et la règle seraient applicables, et les trois conditions devraient être remplies.

Ce sont donc là les conditions nécessaires et suffisantes, pour que la division des monômes entiers soit possible.

S6. Exposant zéro. D'après la règle que nous venons de donner, si une lettre a entre au dividende avec l'exposant m et au diviseur avec l'exposant n, elle entre au quotient avec l'exposant m — n. Mais la démonstration suppose que l'on a7n>n. Si l'on a 7n=rn, la lettre a disparaît du quotient, et la règle ne s'applique plus. Si toutefois l'on convenait de l'appliquer encore, on aurait Qin-m Q^ ^0. g^ comme le quotient de a"" par à" est évidemment l'unité, on conserverait à la règle des exposants sa généralité, en faisant la convention que o.^ représente funitè, quel que soit a. D'après cela,

l^a'b'^cH^ : 25a*5c'= 3 a'^bh^d' ;

et ce quotient n'est pas altéré par la convention, puisque le facteur g" == 1 . Oii conserve d'ailleurs ainsi , dans le quotient , la trace d'une lettre qui, sans cela, disparaîtrait.

Nous donnerons plus loin de plus grands détails sur cette convention, qui se lie à la généralisation des exposants.

§ II. Division d^un polynôme par un monôme.

37. RÈGLE DE DIVISION. Le quoticut de la division d'rm polynôme par un monôme n'est jamais un monôme; car le produit de deux monômes est toujours un monôme (28). Ainsi, lorsque ce quotient existe sous forme entière, il ne peut être qu'un polynôme. L'opération consiste donc, dans ce cas, à trouver un polynôme qui, multiplié par le monôme diviseur, reproduise le po-

lynome dividende. Or on a vu (50), que le produit d*un polynôme par un monôme est la somme des produits de chaque terme du multiplicande par le multiplicateur. Donc le quotient cherché s'obtiendra en divisant chaque terme du dividende par le diviseur : on donnera d'ailleurs à chaque quotient partiel le signe du terme du dividende qui l'a fourni. Par exemple,

(36aV--24aV+28aV) : 4a»a?*=9aa;'— 6a;»+ 7aK

58. Conditions de possibilité. Si chaque terme du dividende, pris isolément, est divisible par le diviseur, il est évident que le quotient est un polynôme entier, qu'on peut obtenir par l'application de la règle précédente; et la démonstration de cette règle prouve, d'ailleurs, que cette condition est nécessaire.

§ III. Division des polynômes.

59. Il est bien rare que Ton puisse effectuer la division d'un polynôme par un autre, c'est-à-dire trouver un troisième polynôme quij multiplié par le second, reproduise le premier. Cependant lorsque le dividende et le diviseur admettent une lettre commune, il arrive quelquefois que l'on peut mettre le quotient sous cette forme. Nous supposerons ici, que les deux polynômes sont ordonnés par rapport aux puissances décroissantes d'une môme lettre, et nous chercherons, s'il est possible, à représenter le quotient par un polynôme ordonné de la même manière.

Le procédé de division repose sur les théorèmes suivants :

60. Théorème I. Si deux polynômes sont ordonnés suivant les puissances décroissantes d'une même lettre, et que le quotient de leur division soit égal à un polynôme ordonné de la même manière, le premier terme de ce quotient est le quotient de la division du premier terme du dividende par le premier terme du diviseur.

En effet, le quotient, multipUé par le diviseur, doit reproduire le dividende. Or, le premier terme du produit de deux polynômes ordonnés provient, sans réduction (45), du produit des premiers termes de chacun d'eux. Le premier terme du dividende est donc le produit du premier terme du quotient par le premier terme du diviseur; et le premier terme du quotient résulte, par conséquent, de la division du premier terme du dividende par le premier terme du diviseur.

On peut remarquer (41), que le premier terme du quotient sera positif ou négatif, suivant que le premier terme du dividende et le premier terme du diviseur auront ou n'auront pas le même signe.

61 . Théorème II. Si Von multiplie le diviseur par le premier terme du quotient , et si Von retranche le produit du dividende^ on obtiendra un reste qui, divisé par le diviseur y donnera pour résultat V ensemble des autres termes du quotient.

Le dividende est égal, en effet, au produit du diviseur par le quotient. Si donc on en retranche le produit du diviseur par un des termes du quotient, le reste sera le produit du diviseur par la somme des autres termes du quotient : cette somme sera, par suite, le quotient de la division du reste par le diviseur.

62. Règle DE DIVISION. Les deux théorèmes précédents permettent de faire une division quelconque : car le premier donne le moyen de trouver le premier terme du quotient, et le second ramène la recherche de tous les autres à une division nouvelle. Le premier théorème, appliqué à cette division nouvelle, permet de trouver le premier terme du nouveau quotient, c'est-à-dire le second terme du quotient cherché; et le second théorème ramène la recherche des suivants à une troisième division, et ainsi de suite.

De là résulte cette règle :

Pour diviser un polynôme par un autre : après les avoir ordonnés suivant les puissances décroissantes d'une même lettre, on divise le premier terme du dividende par le premier terme du diviseur; ce qui donne le premier terme du quotient. On multiplie le diviseur par ce quotient, et Von retranche le produit du dividende: cette soustraction se fait en changeant le signe de chaque terme à soustraire, et en réduisant les termes semblables. On divise le premier terme du reste par le premier terme du diviseur; ce qui donne le second terme du quotient. On multiplie le diviseur par ce second terme, et Vonretranche le produit du reste. On obtient ainsi un second reste, dont on divise le premier terme par le premier terme du diviseur: ce qui donne le troisième terme du quotient. On multiplie le diviseur par ce troisième terme, et Von retranche ce produit du second reste. On continue ainsi, jusqu*à ce que Von trouve zéro pour reste.

Le polynôme, dont on a ohtenu ainsi les termes un à un, est

le quotient cherché ; car, en opérant d'après cette règle, on aretranché successivement du dividende les produits du diviseur par les différents termes de ce polynôme; puisqu'il ne reste rien, il faut que le dividende soit le produit du diviseur par ce polynôme, c'est-à-dire que ce polynôme, soit le quotient.

G3. Exemple I. Soit à diviser x^ +6x< + 4a;3— 4a;'4-a; — 1 par x^+rc — 1 : on écrira, comme il suit, le diviseur à la droite du dividende, en les séparant par une barre verticale.

Dividende..

diviseur.

x' + bx^+l

quotient.

1«"- reste bx^ + bx^ — kx^ -\- x ■

— bx^ — bx^ + bx^

2* reste x^-\-x—l

Le premier terme du quotient est x^, quotient de la division de x^ par a'. Le produit du diviseur par x^ est x> -{-x^—x^ ; on écrit sous le dividende ce produit changé de signe; ce qui réduit la soustraction à faire une simple réduction de termes semblables : et l'on obtient ainsi un premier reste bx^ -{- bx^—kx^+x—i.

Le second terme du quotient est 5a;-, quotient de la division de bx^ par x^. On multiplie le diviseur par 5a;% ce qui donne bx^-\-bx^~bx^\ puis on écrit ce produit sous le premier reste en changeant son signe, et l'on opère la réduction. On obtient pour second reste oj^-f x — 1.

Le troisième terme du quotient est 1 , quotient de a;' par x"^. Si l'on multiplie le diviseur par 1, et qu'on retranche le produit du second reste, on obtient pour reste 0. Le quotient cherché est donc

On doit s'habituer à effectuer à la fois la multiplication de chaque terme du diviseur par le terme trouvé aii quotient, la soustraction du terme correspondant du dividende, et la réduction des termes semblables. Le tableau du calcul se réduit alors, comme on le voit ici :

Dividende... 3^ -\~e,x^ + kx^ — ka^+x — 1 1 x'^-\-x — 1 diviseur.

1" reste ba:^-\-bx^ — 4a;^ + a;— 1 \ x^ -j- bx^ + l quotient

2" reste x'^ + x — 1

Exemple IL Les coefficients de la lettre ordonnatrice sont des monômes littéraux.

Soit à diviser le polynôme

15a8— 9a'b— 25a662 -{• 19a'b'— 6a^&< + Ua^h^ — ka'h^ - 5al>'4- 2&»

par le polynôme

3a^—ba¥i-2b\

Nous nous contenterrons de faire le tableau du calcul. D«e 15o'— 9a'6— 25a*6'+19a'5'— 6a'{)*-t-l3a»6»— 4a'6»— 5a6^-i-26'j Za^—Snh*

l«' reste

2« reste

«•reste

■ Sa'b' — 5a6'+26»

6-1:. Exemple III. La règle précédente ne suppose nullement que les puissances de la lettre ordonnatrice aient- des coefficients numériques ou monômes. Ces coefficients peuvent être des polynômes (43), sans qu'il y ait rien à changer aux raisonnements et à la manière de procéder. Seulement, quand les coefficients du premier terme du dividende et du premier terme du diviseur sont des polynômes, il y a des divisions partielles à opérer, chaque fois que l'on veut obtenir un nouveau terme du quotient. Voici un exemple :

x'-za'

-Sa'b

-kaV

~2ab*

— 2ab'

+ab' -5b«

-2a'b' +2ab=

+2ab*

—ab' —5b'

— 2ab'

-2ab*

l'e divi

sion partielle.

2^ division fartielle.

a*—Za*b+Za¥-

a*— 3a»b+2o'b'+ ab'-6* | o'~2a&+6'

a^b+UMb''

+ at

ab— b'

0 — a'b'+2ab'— 6*

S« âivision partielle.

— a*+2a*b— o'b'+o'b'— 2ab<+b' 1 a'— 2nb+b' +o'b'— 2ab*+6* I — a'+b^

On divise d'abord, dansée cas, (a^ — 3a2&+ Sob*— 6'), coefficient du premier terme du dividende, par (a^ — lab + 6') , coefficient du premier terme du diviseur (première division partielle) ; ce qui donne (a — î»). Et comme a;*, divisé par x^ donne »-, le premier terme du quotient est (a — &)a;-. On multiplie le diviseur par ce terme, ce qui oblige à eff'ectuer plusieurs multiplications de polynômes; puis on retranche ce produit du dividende, et on a un premier

reste. Pour continuer l'opération, on doit diviser (a^— 3a'& + 2a*6' + a6»— 6*), coefficient du premier terroe du reste, par (p? — lob + &'), (deuxième division partielle) : ce qui donne (o'— a&-- b'). Le second terme du quotient est donc (a'' — ab — h'^)x. La multiplication du diviseur par ce terme, et la soustraction, amènent un nouveau reste, sur lequel on opère comme sur le précédent; et l'on arrive ainsi au quotient cherché.

63. Conditions de possibilité. — Les raisonnements, qui nous ont conduit au procédé de division, supposent essentiellement que le quotient puisse s'exprimer par un polynôme. Or, lorsqu'on a à diviser un polynôme par un autre, on ignore le plus souvent si cette condition est remplie. Il est donc important de déterminer les caractères auxquels on reconnaîtra qu'une division est possible sous cette forme. Ces caractères se rencontrent dans le procédé même que l'on emploie.

En effet, si une division est possible,

1" Le premier terme du dividende doit être divisible par le premier terme du diviseur, et le dernier terme du dividende par le dernier terme du diviseur (43) .

2° Le premier terme de chaque reste doit être divisible par le premier terme du diviseur : car il est le produit du premier terme du diviseur par un terme du quotient.

3** Après un certain nombre de divisions partielles successives, on doit trouver au quotient un terme qui, multiplié par le diviseur^ reproduit le dividende partiel qui Va fourni: car on doit obtenir le reste zéro.

Ces conditions sont nécessaires : et si l'une d'elles n'est pas remplie, il n'existe pas de quotient sous la forme d'un polynôme : la division ne peut s'effectuer.

Ces conditions sont suffisantes; car si elles sont remplies, le procédé employé fournit évidemment un polynôme, qui, multiplié par le diviseur, reproduit le dividende.

66. Caractères auxquels on reconnaît si une division peut ou ne peut pas s'effectuer. — Lorsque les polynômes sont or donnés, comme nous l'avons supposé (39), suivant les puissances décroissantes d'une même lettre, l'exposant de cette lettre dans le premier terme de chaque reste va toujours en diminuant, puisque la réduction des termes semblables fait disparaître au moins le premier terme de chaque (iividende partiel. Par conséquent, si l'on continue d'appliquer le procédé de division, on

arrivera nécessairement à un reste, dont le premier ternie contiendra la lettre ordonnatrice avec un exposant plus faible que celui dont elle est affectée dans le premier terme du diviseur. Ou ce reste sera nul, et la division sera effectuée; ou il ne sera pas nul, et la division sera impossible.

Remarquons, d'ailleurs, que l'on pourra être averti de l'impossibilité de la division, avant d'arriver au reste dont nous parlons. Car il pourra se faire que le premier terme d'un reste antérieur ne soit pas divisible par le premier terme du diviseur.

Exemple IV. Diviser x'" -\-bx* + 2a^ par x^+ x.

Dividende, a;* +5x^ + 2x3 | x- -^x diviseur.

+ 4a;* + 2x^ \ x^ -j- iix' —2x -\- 2 quotient. —2x5

La suite des calculs amène le reste — 2x, qui n'est pas divisible par x^ : donc la division est impossible.

Quand une division ne peut pas s'effectuer, il existe un autre caractère auquel on peut reconnaître à quel moment on doit s'arrêter. En effet, si la division est possible, le dernier terme du dividende doit être le produit du dernier terme du diviseur par le dernier terme du quotient (43). Il résulte de là, qu'on peut déterminer immédiatement le dernier terme du quotient, en divisant le dernier terme du dividende par le dernier terme du diviseur. Donc, lorsquen formant les termes successifs du quotientj on en trouvera un de degré moindre que le terme ainsi calculé, on pourra affirmer que Vopération ne se termine paSj et qu'aucun polynôme ne peut représenter le quotient. // en sera de même, si l'on arrive à un terme de même degré que le terme ainsi calculé, et qui ne lui soit pas identique.

Dans l'exemple IV , si le quotient existait, le dernier terme devrait être 2x^, quotient de 2x^ par x. Or le premier terme 4x* du premier reste, divisé par x^, donne pour quotient 4x^ Sans aller plus loin, on peut affirmer que la division ne se terminera pas.

67. Division des polynômes ordonnés suivant les puissances CROISSANTES d'une LETTRE. Il arrivc, dans certains cas, que l'on ordonne les termes d'un polynôme suivant les puissances croi:>-

santés d'une lettre. On peut faire la division de deux polynômes ordonnés de cette manière, et trouver les divers termes du quotient, en commençant par ceux dans lesquels la lettre principale a le moindre exposant. La théorie est absolument la môme que dans le mode ordinaire d'opérer; seulement, dans le cas où la division exacte n'est pas possible, il peut arriver qu'elle se poursuive indéliniment; et l'on obtient alors des restes, dont le degré augmente de plus en plus, au lieu de diminuer, comme cela avait lieu dans le cas des polynômes ordonnés suivant les puissances décroissantes.

Pour donner un exemple de cette manière d'opérer, reprenons la division effectuée au paragraphe (63), en ordonnant les deux polynômes suivant les puissances croissantes de x.

Exemple V. Divid*»" —l-\-x -kx^ + 4a;3 + 6a;< + a;^ 1 — 1 + a; + x"^ div'

—5a;' + 4a;3 + 6a;* 4- a;* I + 1 + hx- + x^ quot' — x^-\- x/'-\-x'^

Nous dirons : le dividende étant le produit du diviseur par le quotient, la terme, dont le degré en a; y est le moins élevé, provient sans réduction du produit des deux termes analogues dans le diviseur et dans le quotient (4o); et, par conséquent, le premier terme du quotient est le quotient de la division du premier terme du dividende par le premier terme du diviseur : il est + 1.

On démontrera, absolument comme on Fa fait (61), qu'en retranchant di dividende le produit du diviseurpar le premier terme du quotient, on obtient un reste — 5a;2-f- kaP" + 6^'^ + a;* qui, divisé par le diviseur, fournira les termes qui doivent compléter le quotient.

Le premier de ces termes est égal, pour les raisons données plus haut, au quotient de la division de — 5a;'- par — 1 , c'est-à dire qu'il est + 5a;2.

En multipliant -\- 5a;- par le diviseur, eu retranchant le résultat du premier reste, on obtient un second reste — a;3 + a;* -fa;*, (lui, divisé par le diviseur, fournira les termes qui doivent compléter le quotient.

Le premier de ces termes est égal, pour les raisons données plus haut, au quotient de la division de — a;^ par —1, c'est-à-dire qu'il est -f a;^; en le multipliant par le diviseur, et retranchant le produit du reste précédent, on trouve une différence nulle \ 'et l'opération est par conséquent terminée.

G8. Caractère auquel on reconnaît qu'une division ainsi ORDONNÉE EST IMPOSSIBLE. Dans l'cxemple précédent, l'opération se termine, et le résultat est identique, comme cela devait être, avec celui qu'a fourni la première manière d'opérer. xMais il n'en serait pas de même, si nous prenions une division impossible à effectuer exactement. Soit, par exemple, à diviser

Exemple VL Dividende 1+X+ at' + 2a^^ i 1 4- 2a; diviseur.

— a?+ a;2 4-2jr'|l—x + 3a^—4x^+... quotient. -f;3a;» + 2a?3 — 4a;3

En appliquant le procédé ordinaire à cet exemple, on obtient des restes successifs, dans lesquels l'exposant de la lettre x, au premier terme, va toujours en augmentant; d'ailleurs la division du premier terme de chaque reste par le premier terme du diviseur est toujours possible. Donc le premier caractère d'impossibilité (66) ne se manifestera pas.

- Mais il en existe un autre, analogue au second, qui se présente toujours, dans le cas où la division ne peut pas s'effectuer. En effet, si la division est possible, le dernier terme du dividende est le produit du dernier terme du quotient par le dernier terme du diviseur ; par suite, le dernier terme du quotient s'obtiendra immédiatement, en divisant le dernier terme du dividende par le dernier terme du diviseur. Or le degré des termes du quotient, par rapport à la lettre ordonnatrice, va en augmentant. Donc, lorsqu'on arrivera, en appliquant le procédé, à placer au quotient un terme de même degré que le terme ainsi calculé et qui ne lui serait pas identique, ou bien un terme de degré supérieur, on pourra affirmer que la division est impossible.

Dans l'exemple VI, si le quotient existait, son dernier terme serait x"^, quotient de 2x^ par 2x; donc, lorsqu'on est amené à mettre au quotient le terme 3^;-, on doit s'arrêter ; la division ne saurait s'effectuer.

En résumé^, on voit que, dans tous les cas, le procédé même de la division conduit nécessairement à des caractères certains de possibilité ou d'impossibilité.

§ IV. Des divisions qui ne peuvent se faire exactement.

6i>. DÉFINITIONS. On dit qu'un polynôme est entier par rapport à une lettre 0?, lorsqu'il ne contient la lettre x ni en dénominateur, ni sous le signe v^~. Ainsi l'expression

est un polynôme entier en x.

Si un polynôme est entier par rapport à une lettre x, le degré de ce polynôme, par rapport à cette lettre, est l'exposant le plus élevé dont elle est affectée. Le polynôme précédent est du 3* degré enœ.

On dit qu'un polynôme, entier en x, est divisiblepdir un autre polynôme entier en x, quand le quotient peut s'exprimer par un polynôme de même forme. Les coefficienls peuvent être quelconques. Ainsi ax^ — 3 est divisible par icy/a-J- y^s; le quotient est x\/â — v^3.

Lorsque les deux polynômes n'ont pas pour quotient un troisième polynôme, on dit qu'ils ne sont pas divisibles l'un par l'autre. On peut néanmoins, dans ce cas, donner, en général, à l'expression de leur quotient, une forme plus simple que celle qui résulterait de la seule indication de l'opération. Nous allons démontrer, en effet, les théorèmes suivants.

70. Théorème L Si deux polynômes AetB sont entiers en x (A étant d'un degré au moins égal à celui deB), on peut toujours mettre

le quotient^ sous la forme d'un polynôme Q, entier en x, augmenté

d'une fraction ^ ayant pour dénominateur le diviseur B, et pour

numérateur un polynôme R entier en x, de degré moindre que B.

On peut, en effet, ordonner les polynômes A et B suivant les puissances décroissantes de x, et leur appliquer le procédé de division (62); comme les coefficients du quotient ne sont pas astreints à être entiers, on peut continuer l'opération, jusqu'à ce que l'on trouve un reste de degré moindre que B.On obtiendra ainsi au quotient différents termes^ dont aucun ne contiendra x en dénominateur. Car les dividendes partiels qui les fournissent sont tous d'un degré supérieur ou au moins égal à celui de B ; et leur premier terme contient, par suite, a? à un degré supérieur ou au moins égal à celui du premier terme de B.

Soit Q l'ensemble des termes obtenus, lorsque l'on parvient à un dividende partiel R, de degré moindre que B: R est ce qni reste du dividende A, lorsqu'on en retranche successivement les produits de B par les divers termes de Q; il est donc égal à A— BQ ; et l'on a, par suite,

A=BQ+R:

d*où, en divisant par B les deux membres de la formule,

B""^^B' le quotient ^ est donc mis sous la forme annoncée.

71. Théorème IL La transformation précédente ne peut se faire que d'une seule manière.

Supposons, en effet, qu'en divisant A par B, on puisse obtenir d'une part Q pour quotient et R pour reste, et de l'autre Q' pour quotient et R' pour reste, Q et Q' étant entiers en x, et R et R' étant de degrés moindres que B, on aurait, par ce qui précède,

A = BQ+R, A=BQ'+R';

et l'on en conclurait,

BQ+R = BQ' + R',

formule que l'on pourrait écrire

Or R et R' étant de degrés moindres queB, il en est de même de leur différence; tandis que le degré deB (Q — Q'}, par rapport à X, est au moins égal à celui de B. Donc le second membre est d'un degré moindre que le premier; et Tégalité est impossible.