Exemples. On trouve, par la méthode précédente

7a;3 + a; — 1 7 "^ 'ix^-\-x—i '

1 sVs

Si le degré du polynôme A était moindre que celui de B, le quotient Q serait égal à zéro, et le reste R serait égal au dividende lui-même.

75. Remarque. Quand on applique au quotient de deux polynômes A et B la transformation précédente, on donne au poly- Alg. B pe Partie. 4

nome Q le nom de quotient entier, et au numérateur R de la fraction ^ celui de reste de la division.

74. Cas ou l*on change la lettre ordonnatrice. Nous avons prouvé que, les deux polynômes A et B étant ordonnés par rapport à une môme lettre œ, le quotient entier et le reste ne peuventavoir qu'une seule forme (71). Mais, sil'on change lalettre ordonnatrice, les mêmes polynômes peuvent conduire à un nouveau quotient et à un nouveau reste. Si l'on considère, par exemple, la fraction

en ordonnant par rapport à ic, on trouve pour quotient a;^ — î/% et pour reste 2i/\ Si l'on ordonnait, au contraire, par rapport à y, on trouverait pour quotient y"^ — a?^ et pour reste 2a?*; en sorte que l'on a :

y' + x''"''^ "^'^co' + y''

§ V. Différences et analogies entre la division arithmétique et la division

des polynômes.

75. Les polynômes ordonnés suivant les puissances d'une même lettre, présentent, avec les nombres entiers, des analogies qu'il est bon de remarquer. Un nombre entier, comme 783214, exprime (7X10^) + (8X10*) + (3X 10') + (2 XlO'j + (1 X 10)4-4; et l'on peut l'assimiler au polynôme 7a;''+8a?*+3a;^ + 2a;=^+a? + 4,

dans lequel on aurait supposé a;=10. Les chiffres du nombre sont ainsi les coefficients des termes du polynôme. Il ne faut pas croire cependant, que toute question d'arithmétique, relative à des nombres entiers, soit purement et simplement un cas particulier d'une question d'algèbre, dans laquelle ces nombres seraient remplacés par les polynômes correspondants.

Comparons, par exemple, les deux questions suivantes : Diviser 783214 par 321 :

Diviser lx^-\-Sc(^-\-3x^-}-2x^-\-x-\-^ par Sic^-f- 2j; + 1.

Les conditions des deux problèmes ont entre elles des différences essentielles, qui ne permettent pas de considérer le premier comme un cas particulier du second.

1° Les divers chiffres du quotient de la division arithmétique doivent être entiers; tandis que le quotient de la division algébrique peut être un polynôme, entier par rapport à a;, dont les coefficients soient des nombres fractionnaires.

2° Les divers chiffres du quotient et du reste, dans la division arithmétique, doivent être moindres que 10; tandis que rien ne limite la grandeur des coefficients des diverses puissances de x, dans la division algébrique.

3° Dans la division arithmétique, le reste doit être moindre que le diviseur. Dans la division algébrique, il doit être de degré moindre.

4° Enfin en algèbre, les résultats obtenus conviennent pour toutes les valeurs de x : il n'y a pas de condition analogue en arithmétique.

§ VI. Théorèmes et applications.

7G. Théorème. Si un polynôme, entier en x, est ordonné par rapport aux puissances décroissantes de cette lettre, le reste de la division de ce polynôme par le binôme (x — a) s'obtient en remplaçant s. par a dans le polynôme.

En effet, le diviseur (x — a) étant du premier degré, on pourra pousser la division, jusqu'à ce qu'on obtienne un reste de degré moindre, c'est-à-dire indépendant de x. Soient donc X le dividende, Q le quotient, entier en x, qui résulte de cette division, et R le reste. On aura identiquement la formule :

Or, celte égalité a lieu pour toute valeur attribuée à x ; car en multiphant (x—a) par Q, et en ajoutant R au produit, on doit retrouver identiquement le polynôme X, sans qu'il soit nécessaire de donner à x une valeur particulière. On peut donc y supposeriez: a. Or, cette hypothèse annule le facteur {x— a);

elle donne à Q une valeur déterminée; elle annule donc le produit {x—a)Q. D'ailleurs elle ne change pas la valeur de R, qui ne contient pas x : donc si l'on désigne par Xa, la valeur que prend X, quand on y remplace a? par a, l'égalité se réduit à

Xa=R.

C'est ce qu'il fallait démontrer.

77. Corollaires. V Si un polynôme X devient nul, quand on y remplace x par a, il est divisible par (x — a). Car Xo, étant nul par hypothèse, le reste R de la division est nul aussi.

2° Si un polynôme X est divisible par (x — a), il se réduit à zéro, quand on y remplace x par a. Car le reste R étant nul par hypothèse, il en est de même de X^.

Ainsi, pour qu'un polynôme, entier en x, soit divisible par (x — a), il faut et il suffit qu'il se réduise à zéro, quand on y remplace x par a.

7R. Cette dernière proposition est d'une grande importance. Bornons-nous à en signaler quelques conséquences; m est, dans ce qui suit, un nombre entier quelconque.

lo (x™ — a"*) est toujours divisible par (x — a). Car ce polynôme s'annule, quand on y remplace x par a,

20 ^x^-j-a*") n* est jamais divisible par (x — a). Car, en remplaçant X para dans le dividende, on obtient le reste 2^*".

30 (^m — Qm^ Qsi divisible par (x-f-a), quand m est pair, et ne Vcst pas, quand m est impair. En effet, diviser par {x-{-a), c'est diviser par [a?— ( — a)] : il faut donc, pour avoir le reste, substimer (—a) à x. Le dividende devient alors [(—«)*" — a'"']. Or, si m est pair, on a (40) (— a)"»=a'"; et si m est impair, on a (— a)"'=— a*". Donc le reste est nul dans le premier cas, et il est (— 2a"*) dans le second.

40 (x^-f-a"') est divisible par (x + a) quand m est impair, et ne Vest pas, quand m est /jair.Car, en substituant encore (—a) à x, le dividende devient [(— a)"*+a*"]. Il est donc nul, si m est impair; et il est 2a"*, si m est pair.