Loi DU QUOTIENT DE LA DIVISION d'uN POLYNOME PAR

{x — a). Nous avons fait connaître la loi, d'après laquelle on oblientlerestede la division d'un polynôme par (.t — a) (76). On peut aussi découvrir aisément la loi du quotient. Représentonsle poly-

nome par At^x"' + AiX'^-^ + AiX'^~^+..,-^Am-2X^+An-i(c + \m, et cherchons à effectuer la division.

Div^« Aoa;"+Aia;*-'+A:X'»-='+...+A„2a;2+A«,x+A„ Aoa|a;»-'+A2Z"'-2+ . . . + A „2a;-+ A,ix+A„

Div

Aoa;"-'+Aoa|x'-2+... Q'.

+ ...+A„oa;HA„-,a;+A,

( +Ai I

I +Aoa=

2' R*" +Aia

( +Aj

Le premier terme du quotient est AjO?"*-*. En multiph'ant le diviseur par ce terme, et en retranchant le produit du dividende, on obtient un premier reste, dont le premier terme est (Ao^ -r Ai)a?*"~S et dont les autres sont les termes mêmes qui suivent le second dans le dividende. Le second terme du quotient est {Xç,a-{-Ai)x"^^; pour avoir le premier terme du second reste, il faut multiplier par a le second terme du quotient, et lui ajouter le troisième terme du dividende : on obtient ainsi (Aoa* + Aia+As)a;"^^. Par suite le troisième terme du quotient est (A(,a2 + Aia4-A2)a7"'-*. En continuant le calcul, on met facilement en évidence la loi suivante :

Le quotient d'un polynôme, entier en x, du degré m, par (x — a), est un polynôme, entier enx, du degré (m — 1). Il est ordonné, comme le polynôme proposé, par rapport aux puissances décroissantes de x. Le coefficient du premier terme est celui du premier terme du dividende. Pour obtenir le coefficient du second terme, on multiplie le précèdent par di -, et Von ajoute au produit le coefficient du second terme du dividende. Pour former le coefficient du troisième terme, on multiplie celui que Von vient de former par a, et Von ajoute le coefficient du troisième terme du dividende. Et, en général, le coefficient du n'''* terme est égal au produit du coefficient précèdent para., produit augmenté du coefficient du n""* terme du dividende. Si le dividende n'est pas un polynôme complet, il faut rétablir les termes qui manquent, en leur donnant zéro pour coefficient.

Exemple. Trouver le quotient et le reste de la division du polynôme

Sx* — kx* — 2x^+1 par x — 2. On écrit ainsi le dividende 3x^ — 4x^ + 0x3 — 2x2 + Oj;+ 7.

on trouve pour quotient 3x' + 2x3 ^ 43;^ 4- 6x + 12, et pour reste 31. Si l'on applique la loi précédente aux exemples du n° 3*8^ on trouve : 1° ^"' — ^'"^^, ^ Q^„2 ^ a2x'"-3+ + a"— ^x2 + a'-^x + a-'-'