LIVRE

T — — — =x'^-^ + ax'«-2 4- aV-^ + 4- a'-^a;' + a'^-^'x + a"-^ -\-=^ ,

X — Cl X — 0/

3° — ^ — = a'"- • — ax'"-^ + a^x'"-^ — — a'"-^x 2 + a'»-2a; — a"*-' ,

si m est -pair;

et — — — =x'"-^ — aa;"'-2-j- a'x'"-3 — ►{- a'^-^^z — a'"-^a: + a'"-' — - — ,

si m est impair.

4° r := a;"'-' — ax"'-'^ + o?x"'~^ — •\-.a'^-^x'^ — a'^-'^x -rCL'^~\

si m est impair;

T^ il et"* *)/;"•

si m est pair.

On peut, d'ailleurs, obtenir directement ces formules.

80. Théorème. Si un polynôme A, entier en x, se réduit à zéro, quand on y remplace x par a, ou par b, ou par c (a, b, c, étant des nombres inégaux), ce polynôme est divisible par le produit

En effet, puisque A s*annule pour x = a/û est divisible par {x — a) (77). Si donc on désigne par Q le quotient, entier en x, que Ton obtient, on a :

A = ix-'a)Q,

Cette égalité ayant lieu, quel que soit a?, on peut y supposer a;=ô ; et, si l'on désigne par Qô la valeur de Q, dans cette hypothèse, l'égalité devient

Or, la différence (6 — a) n'est pas nulle, par hypothèse: donc Q6=0. Donc Q est divisible par Çx — b) (77). Désignant le quotient par Q', on a :

et par suite, A ={x—a){x— b) Q'.

Cette égalité ayant lieu, quel que soit x, on peut y supposer a;=c; et elle devient:

Q'c étant la valeur que prend alors Q'.

Or, les différences (c — a), {c—h), ne sont pas nulles: donc Q', doit être nul. Donc Q' est divisible par (a?— c); et, en désignant le nouveau quotient par Q", on a :

d'où A = (a? — a) (a? — 6) (a;— c) Q".

Donc A est divisible par le produit [x — a) {x — b) (x—c).

EXERCICES

L Trouver la condition nécessaire et suffisante pour que (a;»— a") soit divisible par (x* — a").

H faut et il suffît que m soit divisible par n.