CHAPITRE IV
DES FRACTIOXS ALGÉBRIQUES.
B I . DÉFINITIONS. Lorsqu'une expression A n'est pas divisible par une expression B, on indique le quotient, comme on l'a vu,
(S2) par ia forme ■^, Cette expression porte le nom de fraction
algébrique. Le dividende A est le numérateur; le diviseur B est le dénominateur ; A et B sont les termes de la fraction.
Une fraction algébrique est plus générale qu'une fraction arithmétique ; car les termes de la première ne sont pas, comme ceux de la seconde, assujettis à être des nombres entiers. Mais nous allons montrer que les règles de calcul sont communes aux deux genres de fractions.
§ I. Transformation des fractions algébriques,
82. Théorème. On n'altère pas la valeur d'une fraction algébri-que, en multipliant ses deux termes par une même quantité.
En effet, soient r la fraction proposée, et m le multiplicateur.
Représentons par une lettre q le quotient de la division de a par b: on a, d'après la définition même de la fraction,
a=bq.
Multipliant par le même nombre m ces deux quantités égales, on a :
am = bqm = bmq ;
et, divisant par bm les deux produits égaux, on obtient Tégalité
am am a
qui démontre le théorème.
La même formule prouve que Von n'altère pas la valeur d'une fraction, en divisant ses deux termes par une même quantité.
Le principe fondamental étant ainsi le même en algèbre qu'en arithmétique, les conséquences seront les mêmes.
85. Simplification des fractions. On simplifie une fraction algébrique, en supprimant les facteurs communs à ses deux termes {^2).
Lorsque les deux termes sont des monômes, il est toujours facile de découvrir leurs facteurs communs.
Soit, par exemple, la fraction ^—-77— rr. Le plus grand commun diviseur des îoefficients est 4; quant aux facteurs littéraux communs, on reconnaît immédia-
tement un facteur a, trois facteurs h, un facteur c, et un facteur d. En les supprimant j on obtient la fraction simplifiée ' .
Lorsque les deux termes soni des polynômes, on trouve encore immédiatement leurs facteurs monômes communs.
Ainsi, dans la fraction -— rr — „,^ ^,. , on aperçoit le facteur monôme 4a-5 :
SI on le supprime, la fraction se réduit k— — 5^— rrj-.
Mais il n*est pas aussi facile de découvrir les facteurs polynômes qui seraient communs aux deux termes : la recherche de ces facteurs se rattache à la théorie du plus grand commun diviseur algébrique, qui appartient à l'algèbre supérieure. Cependant il arrive quelquefois que des caractères particuliers permettent de les déterminer.
Prenons pour exemple la fraction
On reconnaît que le numérateur et le dénominateur s'annulent pour l'h^-pothèse a=\ : ils sont donc (77) divisibles tous deux par (a— 1). Si l'on supprime ce facteur commun, la fraction se réduit à
a + 6 De même la fraction
6acH^- 18 bo'd'
peut s'écrire, en isolant les facteurs monômes communs aux termes du numérateur, et les facteurs communs aux termes du dénominateur,
et, sous cette forme, on reconnaît que 2c'd^ (a — 3 6) est commun aux deux termes. La fraction se réduit donc à
