RÉDUCTION DES FRACTIONS AU MÊME DéNOMINATEUR. On
réduit des fractions au même dénominateur, en multipliant les deux termes de chacune d^ elles par le produit effectué des dénominateurs de toutes les autres. Ainsi les fractions
dêYiennent, par cette transformation,
adfh cbfh ehdh ghdf ^ bdf%' W^' Wh' hd{%''
elles n'ont pas changé de valeur (82) ; elles ont pour dénominateur commun le produit des dénominateurs primitifs.
On peut quelquefois obtenir un dénominateur commun plus simple que ce produit : car il suffit de choisir, comme en arithmétique, une expression divisible par chacun des dénominateurs particuliers. Lorsque ces dénominateurs sont monômes , ce multiple commun est égal au produit du plus petit multiple commun des coefficients, par les facteurs littéraux pris chacun avccleur exposant le plus élevé.
Soient, par exemple, les fractions
le plus petit multiple commun est 144 a^b^c'. Les quotients de ce monôme par les dénominateurs sont respectivement IS&^c^, ^aâ, 8 a^b^. Les fractions équivalentes sont donc
AXl2b^c^ BX 9ac^ Cx8 a'h^ 144a^/>^c3 ' 144a^&*c»' U^a^b^c^'
Si les dénominateurs sont des polynômes, la recherche d'un multiple commun plus simple que leur produit ne peut s'exécuter, en général, qu'à Taide des théories de l'algèbre supérieure. Cependant il peut arriver que des considérations partilières en fournissent l'expression.
Soient, par exemple , les fractions
^ <^+^ Q^-ft a^ + 263
3&2' 2b{a — by 4a(a + b)' 9a^a^—b^)
Comme a2 ^2— (a + &) [a— h), on voit que l'expression c<6a^6^ (a^ — b^) est divisible par chacun des dénominateurs; les quotients sont respectivement
Ua^ia^—b''), 18a2&(a + &), 9ab^a—b), 4 5^;
et les fractions équivalentes sont
24 a' {a'—b') \8a^b ja+by 9ab^ {a — by ii¥ia^-{-2V) 2iîa'b\a'-¥y 36 d'b'' [a'—b')' 'SQ aW {a'—b^y dQaWi.a^—b^Y
§ IL Opérations sur les fractions algébriques.
85. Addition. Lorsque les fractions ont le même dénominateur^
on additionne les numérateurs^ et Von donne à la somme le dénominateur commun,
Ainsi —H ^— =— i ! ;
m ^ m ^ m ^ m rn
car les produits par m de chacun des membres de cette formule sont (50) égaux k {a-\-b-{-c-\-d).
Si les fractions ont des dénominateurs différents^ on les réduit au, même dénominateur; puis on applique la règle précédente.
86. Soustraction. Lorsque les fractions ont le même dénominateur, on soustrait le second numérateur du pr^mier^ et Von donne à
la différence le dénominateur commun.
Ainsi = ;
car les produits par m des deux membres de cette formule sont égaux (50) à {a — b).
Si les fractions ont des dénominateurs différents, on les réduit au même dénominateur ; puis on applique la règle précédente,
87. Multiplication. On multiplie une fraction par une autre^ en multipliant les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre euXj puis en divisant le premier produit par le second.
En effet, soit à multiplier la fraction v- par la fraction rr- Désignons par q et q' les valeurs de ces deux fractions, de sorte qu'on a, par définition :
a=bq, a' = b'q'.
Multiplions ces égalités membre à membre; nous aurons :
aa'=bq.b'q', ou (28) aa'=bh'qq'.
Divisons maintenant les deux membres par bb\ nous aurons :
aa! , aa' a a'
ce qui démontre la règle énoncée.
Il résulte de cette règle que le produit de plusieurs fractions est une fraction égale au produit des numérateurs divisé par le produit des dénominateurs.
