LIVRE

aa'a"..

bbb",.

Ainsi

et par suite (^-^j = — .

88. DIVISION. On divise une fraction par une autre, en multï pliant la fraction dividende par la fraction diviseur renversée.

Soit, en pffet, à diviser^par p. Posons encore,

a=:bq, a'=b'q',

et divisons ces égalités membre à membre; nous aurons :

a __ bq a'~ ¥q''

Multiplions les deux membres par r- >

nous aurons

ab' bqb' a'b~b'q'b*

ou simplifiant le second membre (85),

ab' q

c'est-à-dire ^X^-^^'î b a b b

ce qui démontre la règle.

§ III. Des exposants négatifs.

89. DÉFINITION. On a vu (54), que le quotient de la division de a'" par a" est a'"-" : mais la démonstration suppose que l'on a m^n. Si l'on a, au contraire, m<ri, le quotient doit s'écrire

sous forme de fraction, — ;j. On peut alors supprimer m facteurs a a

communs aux deux termes, et la fraction prend la forme -;j::^^.

D'un autre côté, si Ton appliquait la règle des exposants au cas où l'exposant du diviseur surpasse l'exposant du dividende on écrirait :

Par suite, on conservera à cette règle toute sa généralité, si Von convient que V-expression a"** représente la fraction — .

Nous admettrons, comme définition, qu*wrîe lettre affectée d'un exposant négatif exprime une fraction^ qui a pour numérateur l'unité, et pour dénominateur la même lettre affectée du même exposant pris positivement. Et nous allons voir que ceUe notation permet de généraliser quelques théorèmes.

Et d'abord, la formule

ayant lieu, par définition, quand m est positif, est vraie, par cela même, pour des valeurs négatives de m. Ea effet, si l'on suppose w= — m', — m deviendra égal à m'; etJes deux membres de la formule [1] deviendront a"*' et -^^,. Or, par défini-

tion,a-*"'= -^, puisque m' est positif: donc-::;;;? est le quotient a a

de 1 par -^ ou a*"' (88). Les deux membres sont donc égaux.