GÉNÉRALISATION DE LA REGLE DES EXPOSANTS POUR LES

PUISSANCES. On a démontré (29), pour les valeurs positives de m et de n, la formule

Cette formule est encore vraie, si l'un des nombres m ou n, ou tous les deux, sont négatifs.

Supposons d'abord 771 positif, et n négatif et égal à — n'; nous aurons : ,

Supposons ensuite m=.—m', et n positif; nous aurons :

Supposons enfin 771 = — 771', 71= — n', à la fois; nous aurons :

\âF) Va"'"*'/ La règle est donc générale.

§IV. Théorèmes et applications.

95. Théorème. Si plusieurs fractions t» T7> "î^- • • • sont égales

entre elles, on obtient une fraction égale à chacune d'elles^ en divisant la somme des numérateurs par la somme des dénominateurs. En effet, désignons par une lettre q la valeur commune de toutes ces fractions ; on aura, par définition,

a = bq, a' = b'q, ol'=:b"q.,.\

d'où, en ajoutant ces égalités membre à membre, et mettant q en facteur dans le second membre,

Par suite, en divisant les deux membres par (&+6'+&''+....)/ il vient :

ce qu'il fallait démontrer.

Corollaires. 1° On peut, avant de faire l'addition, multiplier les deux termes de chaque fraction par un même nombre quelconque. Ainsi

Gomme les fractions n'ont pas changé de valeur, on en conclut: Q).-|-flV-|-aV-f . . . . qX a 6X + ^a'4-6'X+.... b\ V '■ -

2° Si Ton élève chaque fraction au carré, on a, en les suppo* Sdut positives,

^2 — ^'2 — yi ^-2 j| ^'2 |. ^'/2 |^ ^ ^ ^ ;

d'où, en extrayant les racines carrées des divers membres,

a a!__a!^ yJa'+a'-'-]-o;''-\-.. . , l~b''- b" ^t)i-\-b'' + b"^~:

Ainsi, si plusieurs fractions sont égales, chacune d'elles est égale au quotient de la racine carrée de la somme des carrés des numé'

râleurs y divisée par la racine carrée de la somme des carrés des dénominaleurs.

94. Théorème. Si plusieurs (raclions, à termes positifs, sont inégales, la fraclion formée j en divisant la somme des numérateurs par la somme des dénominateurs, est comprise entre la plus grande et la plus petite d'entre elles. Soient, par exemple,

a^a^^oT^ af^

Si l'on pose T = ç, d'où a—hq,

on en conclut: a'^b'q, a"^b"q, a"'^b"'q\ d'où, en ajoutant, membre à membre :

aJ^a' -{-a" + a"'>{b-\-b' +b" + b'")q,

et, par smte , .,..,;.',.,. > g,

Si Ton pose -nfi^-q, d'où a"' — b"'q,

on aura : a"<Cb"qi a'<^b'q, a<Cbq\

puis, ajoutant membre à membre, on aura:

a+a'-\-a!'+a:"<:{b + b'+b'+b"')q, d ou Ion tire: ^-^-^^^^^^^

ou — ' ' <!'^ •

b-\-b'-\-b"+b"'^b"''' ce qu'il fallait démontrer.

On démontrera aisément des corollaires analogues à ceux du théorème (1)5).

EXERCICES