CHAPITRE V

DES RAmCAUX ALGÉBRIQUES,

93. DÉFINITIONS. On a vu (29) que, pour élever un monôme entier à la puissance mr\ il faut élever son coefficient à la puissance m'"% et multiplier par m tous les exposants. Par suite, si le coefficient d'un monôme est une puissance m*"* parfaite, et si ses exposants sont tous multiples de m, on extrait lu racine wv^" de ce monôme, en extraijant la racine W!^ du coefficient, et en divisant par m tous les exposants. Ainsi

,^b"'a^"'b'^"'c"' = ba^b^c.

Le plus souvent il n'existe pas'fle monôme rationnel dont la puissance m"" soit égale à un monôme donné ; alors on ne peut qu'indiquer la racine m'"' à l'aide d'un signe. On désigne par'^K le nombre dont la puissance m"^ est égale à A. Ce nombre se nomme radical, et m est V indice^ du radical. On donne aussi le nom de radical au signe seul 7 •

Lorsque A est un polynôme, il n'arrive presque jamais, que sa racine m'"" puisse s'exprimer par un autre polynôme; d'ailleurs les règles qui conduisent à sa valeur, quand elle existe sous cette forme, ne se démontrent que dans la seconde partie de Talgèbre. Nous Tindiquerons, dans tous les cas, par le signe ^Â.

96. Des différentes valeurs de \/A. Si l'on se borne à considérer les nombres positifs, I^X a, d'après notre définition, une valeur unique et déterminée. Mais les conventions faites en algèbre nous obligent, dès à présent, à lui donner un sens plus étendu. Il peut arriver quatre cas.

1» Si A est positif, et que m soit pair, la racine m^ de A a deux vakurs égales et de signes contraires. En effet, si i*on élève à la puissance m"" le nombre v/a, quel que soit le signe qui le précède, on obtient toujours A, puisque le produit d'un nombre pair de facteurs négatifs est positif (40). Par exemple, v/4" représente, d'après nos conventions, — 2 et +2; car ces deux nombres ont tous deux pour carré le nombre 4.

.2° Si A est positif et m impair, il n'y a pas lieu, pour le moment, d'attribuer à "s/A. une signification plus générale qu'en arithmétique. Ainsi v^8 = 2.

3° Si A est négatif et m pair , y^A ne représente aucun nombre positif ou négatif; caries puissances paires d'un nombre positif ou négatif sont toujours positives (40).

4" Si A est négatif et m impair, posons A = — A'; alorf V^A = V — A' = — \/^'; car m étant impair, la puissance m""di — v^Â^sera — A' ou A (40). Ainsi v^ — 8= — ^"8 = — 2 ; car le cube de — 2 est — 8.

Ces généralisations sont, en algèbre, d'une grande importance ; elles recevront plus tard de grands développements; mais il a'en sera plus question dans ce chapitre. Nous considérerons seulmient les racines positives des nombres positifs.

§ ,1. Transformation des radicaux.

97. Principe I. Lorsqu'un radical est multiplié par un facteur , on peut faire passer ce facteur sous le radical, pourvu qu'on relève à une puissance marquée par Hndice. Ainsi

ay'6 = v^a'"6. [IJ

Pour le prouver, il suffit de remarquer, qu'en élevant a 7 ^et 7 a'^à à la puissance riV^% on obtient des résultats égaux. En effet, la puissance m"'* d'un produit étant le produit des puissances m™''» des facteurs, on a, pour la première expression :

(aVy)" = a"'(76")"=:a"'6.

D'ailleurs on a, pour la seconde, d'après la définition même,

La même formule [1] démontre, qu'on peut faire sortir un facteur placé sous le radical, pourvu qu'on en extraie une racine marquée par Vindice.

98. Principe II. On n" altère pas la valeur d'un radical^ en multipliant Vindice et l'exposant de ce radical par un même nombre. Ainsi

Pour le prouver, il suffit de remarquer, qu'en élevant ^ a"" ci 'v^a"P à la puissance mp"^', on obtient des résultats égaux. Et en effet, la seconde expression, élevée à la puissance mp"*% donne, par définition, a"P. Quant à la première, comme la puissance mp""' d'une expression est la puissance p*^' de la puissance m"" de celte quantité (28), on a :

Les deux résultats sont donc bien égaux.

La même formule [2] démontre, qu'on peut diviser Vindice et Vexposant cCun radical par un même nombre, sans altérer sa valeur.

99. Simplification d'un radical. Lorsque le radical porte sur une quantité élevée à une certaine puissance, on peut souvent ^ui faire subir une simplification.

1° Si l'indice de la racine est égal au degré de la puissance, les deux opérations se détruisent. On a, en effet (95) :

2° S'il existe un facteur commun à Vindice de la racine et à Vexposant de la puissance, on peut le supprimer. On a, en effet (98) :

3° S'il se trouve sous le radical un facteur dont Vexposant soit multiple de Vindice de la racine, on peut le faire sortir du radical, en divisant cet exposant par Vindice. On a (97) :

100. Réduction des radicaux au même indice. Soient deux radicaux l'a^, Ç'6»; on peut multiplier l'indice et l'exposant du

premier par n, indice du second; puis multiplier l'indice et l'exposant du second par m, indice du premier (98) ; on obtient ainsi : "a^" et "v^è^*". Ces radicaux ont le même indice; car cet indice est le produit des deux indices.

On réduit donc deux radicaux au même indice, en multipliant IHndice et Vexposant de chacun d'eux par V indice de Vautre.

On réduit de même plusieurs radicaux au même indice, en multipliant V indice et l'exposant de chacun d'eux par le produit effectué des indices de tous les autres. Ainsi les radicaux

Wi V'^^^ sl'^h \/d^> deviennent, par cette transformation,

Ces règles ont beaucoup d'analogie avec celles à l'aide desquelles on réduit les fractions au même dénominateur. On peut même pousser l'analogie plus loin, et donner aux radicaux un indice commun égal au plus petit multiple commun de leurs indices. En effet, soit a le plus petit multiple commun aux indices, m, nj Pj q; de sorte que l'on ait :

en multipliant l'indice et l'exposant du premier radical par ?n', et ceux des autres par n', p', q\ respectivement, les radicaux deviennent,

OU yâF', yb^', y^'^ y¥^\

§ II. opérations sur les radicaux.

101. Multiplication. Lorsque les radicaux ont le même indicCj pour faire leur produit, on multiplie les quantités placées sous les signes j et Von affecte le produit du signe commun. Ainsi :

Va X V^ X \/c X v^rf^ "slÔHd. [3]

Pour le prouver, il sufflt de remarquer, qu'en élevant les deux membres à la puissance m"", on obtient des résultats égaux. Car le second devient ahcd^ par définition ; et comme la puissance w"*

m LIVRE I.

d'un produit est le produit des puissances m*"" des facteurs (29), le premier membre devient :

Cs/â X Tb X To X TdT = (?«)"* {TbT CfoT iVdT = abcd. Si les radicaux n'ont pas le même indice j on les ramené a un indice commun (100), et on applique la règle précédente. Ainsi :

Si les radicaux ont des coefficients numériques ou littéraux, on en fait le produit. Ainsi :

3/iV«" X4/cv'a^=: 12M7a«3+PP.

102. Division. Lorsque les radicaux ont le même indice^, pour diviser le premier par le second, on divise les quantités placées sous les signes, et Von affecte le quotient du signe commun. Ainsi :

Ja a r/T

Pour le prouver, il suffit de remarquer, qu'en élevant les deux: membres à la puissance nf^\ on obtient des résultats égaux. Et,

en effet, le second devient, par définition, j-» Quant au premier,

comme la puissamîe m*"' d'une fraction est le quotient des puissances m'"" de ses deux termes (87), il devient :

Na\ \^\ia) __a

Si les radicaux ont des indices différents, on les ramène au même indice, et l'on applique la règle précédente. Ainsi :

Si les radicaux ont des coefficients, on en fait le quotient. Ainsi : 3/iv/fi^ 3^^ '^/o^

105. Puissances d'un radical. Pour élever -un radical à une puissance, on élève à cette, puissance la. quantité placée sous la ra^ dical. Ainsi :

Pour le' prouver, il suffit de remarquer, qu'en élevant les deux membres à la puissance m"=*, on obtient des résultats égaux. Et, en effet, le second devient, par la délinition, a-^^. Quant au premier, comme la puissance m"" de la puissance p""* d'une quantité est égale à la puissance pm*"" ou à la puissance 7?ip"" de cette quantité, et réciproquement, on a :

Après ropération, on simplifie le radical, s'il y a lieu (99). Si le radical a un coefficient , on V élève à la même puissance.

Ainsi :

(/i,7I^p=/iPVa«P.

104. Racines d'un radical. Pour extraire une racine cVun radical, on multiplie Vindici. du radical par V indice de la racine, et l'on simplifie ensuite le résultat, s'il y a lieu. Ainsi :

Pour le prouver, il suffit de remarquer qu'en élevant les deux membres à la puissance mp"^', on obtient des résultats égaux. Et, en effet, le second devient alors, par la définition, a*. Quant au premier, comme la puissance mp"^' d'une quantité est égale à la puissance m"^" de la puissance p"*" de cette* quantité , on a :

§ III. Des exposants fractionnaires.

105. DÉFINITION. On a vu (9o) que, pour extraire la racine p*^ d'une quantité a"»^, dont l'exposant est multiple de l'indice, il suffit de diviser l'exposant par l'indice. Ainsi v^a'"^ = a"*. Mais, si la division n'est pas possible, la règle ne s'applique plus, et la racine p'^' de a"» s'écrit alors sj'^- Si, toutefois, onappUquait

encore la règle précédente à ce cas, on devrait écrire aP, On conservera donc à cette règle toute sa généralité, si l'on convient

de représenter le radical ^'ô^ par le symbole a?. Nous admettrons, comme définition, qu'une lettre a, affectée

d'un exposant fractionnaire — y représente un radical qui a pour

exposant le numérateur m, et pour indice le dénominateur p. Et nous allons voir que cette notation nous permettra d'énoncé»* plus simplement les résultats précédents.

Mais, avant d'en montrer les avantages, nous ferons remarquer qu'elle n'implique pas contradiction ; et que l'expression o^ conserve la même valeur, si on y remplace l'exposant — par une

« ^. , , w' ^ „ , ^ . „ mm'

fraction égale —r , En d autres termes, si 1 on a — = — ,

on aura aussi a^ = a^',

c'est-à-dire, en vertu de nos conventions,

Or cette dernière égalité est évidente : car si l'on réduit ces deux radicaux au même indice, ils deviennent ''V^'"^' et ''v/ô*^; et l'on

voit qu'ils ont alors le même exposant, puisque l'égalité — = — entraîne l'égalité mp' = m'p.