GÉNÉRALISATION DE LA RÈGLE DES EXPOSANTS POUR LA

MULTIPLICATION. On a démontré (28), pour les exposants entiers et positifs, la formule

a'"Xa" = ft"''*"*. ■ [1]

Cette formule est encore vraie, si l'un des exposants m ou n, ou tous les deux, sont fractionnaires.

Supposons d'abord m fractionnaire et égal à -, n restant entier ; nous aurons, d'après la définition et le principe I (97) :

a*" X a** = a« X a" = y^a? X a" = s/a^ X a"^ = y^a^^"^ ; or, si Ton applique notre convention à cette dernière expression, elle devient, a « ou a^ ;

donc a^ X a"* = ci'^ '

Si maintenant les deux facteurs ont des exposants fraction-

naires, m = -, n=--, on aura:

a'^Xa''=a'xa'=: s/a^X (/a'=^''^aP'x'i'a^'^='^a^'xa'''='\/a^''-'"'':^

or ce dernier radical peut s'écrire, d'après nos conventions,

a "^^ on a«^*; donc a«Xa*"=a«^*'.

107. Généralisation de la règle des exposants pour la DIVISION. On a (89), pour des valeurs entières et positives de m et de n :

Cette formule est encore vraie, si m ou n, ou tous les deux, sont fractionnaires.

Supposons d'abord w = -, et n entier; nous aurons :

or ce dernier radical peut s'écrire, d'après nos conventions,

P-nq p

a ^ ou a« ";

donc a'^ia^^a'^ ".

Supposons ensuite m entier, et ?i = - ; il viendra :

çr ce dernier radical s'écrit, d'après nos conventions,

a 5 ou a «; on en conclut : a"" : «« = a « .

Supposons enfin m = -, 7i = - ; il viendra :

a"» : a" = a^ : a*= s/aj^ : y'â'^i^ ^ô^ : '^^^VftP'-^^ ; et, comme ce dernier radical s'écrit, d'après nos conventions,

pt-rq £r

a «' ou a'^ *, •

on en conclut : fl^ia'^a^ *.