L'équation est irrationnelle
Exemple I. Soit l'équation* Si l'on élève les deux membres au carré, il vient :
ou, en faisant passer les termes inconnus à gauche, les. autres à droite, et supprimant ceux qui se détruisent,
S^x^U, ou 2v'J=3. [aj
Élevant encore au carré, on a :
[4] 4a; = 9, d'où 0?= |. [5]
Comme toute solution de l'équation [Ij vérifie toutes les suivantes, qui en
sont des conséquences, et que l'équation [5] n'admet que la solution x:= - , il
est clair que l'équation [1] n'en saurait admetti-e d'autre. Mais il n'est pas certain que cette valeur satisfait effectivement à cette équation : car on a, par deux fois, élevé l'équation au carré, opération qui peut introduire des solutions étrangères (126). Il est donc nécessaire de vérifier la solution trouvée par une
substitution directe. Or, en remplaçant x par - , le premier membre de l'équation [1] devient :
V4— =v/IT[=v/f=5,
et le second ii^ \/x=k— \/^-=^i — - = r'
La vérification réussit donc; mais elle était indispensable*
* Dans cette équation , v/4 + a; et ^x désignent des nombres pvsitifs : nous laissons de côté, pour le moment, la double valeur qu'on peut leur attribuer. Jl en sera de même dans le reste de ce chapitre.
Exemple II. Soit encore l'équation
\/x—\U—\/\—x = l. Il]
Pour faire disparaître un des radicaux, on V isole dans un membre, en écrivant
}/x—\/l — x=.)Jx—l, [2J
et l'on élève au carré les deux membres ; il vient :
ou, simplifiant et changeant les signes,
iJT^=2\/x—l, [4]
Élevant de nouveau au carré, on a :
1— a; = 4a; — 4 V?+l, [oj
ou, simplifiant et transposant,
4 \/x=ox. [6]
Élevant au carré pour la troisième fois^ nous avons :
16x=:TciX\ [7]
équation que l'on peut écrire^ en mettant tous les termes dans le premier membre,
x{16 — 2bx)z=zO. [8j
Pour qu'un produit de deux facteurs soit nul, il faut et il suffit que l'un des facteurs soit nul. Les solutions de l'équation [8] sont dûoc :
L'équation [1] n'admet pas d'autres solutions que celles-là. Pour savoir si elle
les admet effectivement, faisons la substitution directe. La \'aleura;=0 donne :
— y— 1 =^ 1 > ce qui ne signifie rien ; et la valeur ^ = .tt donne :
ou, réduisant, - — t = 1,
ce qui n'est pas vrai. Ainsi aucune des deux solutions ne convient à l'équation [1].
Il est facile de voir que la valeur a; = 0 véiifie l'équation
yjx + yx+ Vi— a; = l;
1 fi
que la valeur x=: ■— vérifie l'équation
i/x + yx— \/l—X = 1 ; et que ces équations conduisent toutes deux à la même équation [71 , en suivant la même marche que pour l'équation proposée.
150. L'équation ne renferme l'inconnue qu'à une certaine puissance; alors elle peut être considérée comme étant du premier degré, si Ton prend cette puissance pour l'inconnue.
Exemple III. Soit Téquation
On multiplie les deux membres par le produit (l + 2a:;) (1 — 2x) , ou par (1— 4a;'); il vient :
a (1 —2a;) + a (1 +2a;) =r2b (1 —kx^) , [2]
ou, effectuant les multiplications, et supprimant les termes qui se détruisent,
2a=1h—8hx\ [3]
Si l'on considère x^ comme Tinconnue, cette équation est du premier degré, et on en tire :
15i. L'équation ne renferme l'inconnue que sous un radical; elle est du premier degré, si l'on prend ce radical pour inconnue.
Exemple IV. Soit l'équation
ax — b^ sjax — b
Comme le numérateur de la première fraction est divisible par son dénominateur, l'équation peut s'écrire :
V^aa;— &— -i — - — =c, [2]
ouj en chassant le dénominateur,
c V âx—cb— s/âx + b = c^j [3]
équation du premier degré, si l'on prend pour inconnue le radical v'ôZ On a, en transposant les termes :
(c— 1) \/âï=c2 + c& — &; [4]
et par suite,
Élevant cette équation au carré, et divisant par a, on a:
§ III. Solution de quelques problèmes.
Nous donnerons, dès à présent, quelques exemples de ruliliié des équations dans la solution des problèmes.
132. Problème I. Trouver Vescompte en dedans d'un billet de 1500 /"r. payable dans 5 mois, le taux de Vintérêt étant 6 pourlOO par an.
L'escompte en dedans d'un billet est l'intérêt de sa valeur actuelle. Désignons cet escompte par x; on rem'ettra au porteur 1500 — x; et il faudra que ' cette somme, placée à 6 pour 100 pendant 5 mois, rapporte un intérêt x. Or, 100 fr. , rapportant 6 fr. en 1 an, rapportent en 1 mois 0^50, et en 5 mois 2^,50; 1 fr., dans le même temps, rapporte donc 0^025; et (1500— a;) rapportent 0',02oX (1500— a;). On doit donc avoii; l'équation
(1500— a-) X 0,025 =af,
ou , en effectuant les calculs,
équation du premier degré, d'où l'on tire
^ 1500xO^__„.
On remettra au porteur dubillet l'excès de 1500 fr. sur l'escompte, ou 1463',41.
133. Problème IL On a deux lingots d'argent, dont les titres sont 0,110 et 0,940; quel poids doit-on prendre de chacun d'euxpour former 25 grammes d'alliage, au titre de 0,900?
Soit X le nombre de grammes que l'on doit prendre dans le premier lingot : (25 — x) sera le poids que l'on devra prendre dans le second.
Le poids de l'argent contenu dans x grammes du premier lingot est a; x 0,775.
Le poids de l'argent contenu dans (25 — x) grammes du second lingot est (25 — a:) X 0,940.
La quantité totale d'argent contenue dans l'alliage est donc
a;XO,775+(25 — ar)X0,940.
D'un autre côté, puisque le titre de l'alliage est 0,900, la quantité totale d'argent que les 25 grammes d'alliage contiennent doit être égale à 25x0,900; on doit donc avoir
a;X0,775 + (25 — af)X0,940 =25X0,900,
équation du premier degré, dont on déduira a; = 6''',0606. Donc on doit prendre :
du premier lingot ô^^OGOe,
du second lingot 18»' ,9394.
131:. Problème III. Paris et Rouen sont distants de 137 kilomètres. Le charbon coiJtte à Paris 4^,25 les 100 kilogrammes, et à Rouen 4S75; les frais de transport étant, par tonne et par kilomètre, de 0^09, quel est le point du chemin
pour lequel il y a avantage égal à faire venir le charbon de l'une ou de Vautre ville ?
Soit X la distance du point cherché à Paris ; {131— se) sera sa distance à Rouen.
Une tonne de charbon achetée à Paris coûte 42^,50. Les frais de transport de cette tonne à la distance x sont a;X 0,09t Le prix de revient d'une tonne achetée à Paris est donc
Une tonne achetée à Rouen , et transportée à la distance (137 — a;), coûtera do même
On aura donc
42,50 + a;X0;09-— 47,50 + (137— a;jx 0,09, équation du premier degré, d'où l'on tirera
donc, distance de Paris au point cherché 96'',278,
distance de Rouen 40'',722 ,
prix de la tonne 51'",I6'' i.
155. Remarque sur la mise en équation des problèmes. 31 et tre un problème en équation, c'est exprimer, par une ou plusieurs équations, les conditions imposées par son énoncé aux quantités inconnues. Il est impossible de donner, pour y arriver, une règle complétem-ent générale. Nous nous bornerons, pour le moment, à l'indication suivante.
En examinant avec soin l'énoncé d'un problème, on verra presque toujours qu'il s'agit, pour le résoudre, d€ rendre certaines quantités égales entre elles. Après avoir reconnu quelles sont ces quantités, on cherchera les formules qui en expriment les valeurs; et, en égalant ces formules, on obtiendra les équations demandées. Reprenons, par exemple, les trois problèmes traités plus haut.
Problème I. Trouver l'escompte de 1500 fr. payables dans cinq mois, c'est trouver une somme qui, placée pendant cinq mois et augmentée de ses intérêts pendant ce temps, devienne égale à 1500 fr.
Problème II. Allier de l'argent à 0,775 avec de Targerit à 0,940, de manière à former 25 grammes d'alliage à 0,900; c'est faire en sorte que la quantité totale d'argent contenue dans les
25 i: ni:) mes d'alliage soïl égale à 0,900 X 25.
Problème IIJ. Il faut faire en sorte que le prix d'une tonne de charbon, transportée de Paris au point cherché, soit'e^a^ au prix d'une tonne, transportée de Rouen au même point.
Remarque. Dans presque tous les problèmes relatifs à des nombres, la mise en équation n'est, pour ainsi dire, que la traduction, dans la langue algébrique, de l'énoncé proposé en langage ordinaire. Il peut arriver cependant, que l'énoncé ne paraisse pas pouvoir immédiatement se traduire en formule; mais, en s'attachant au sens plutôt qu'aux paroles, on ne trouvera presque jamais de difficulté sérieuse. Nous reviendrons sur la mise en équation, quand nous nous occuperons spécialement des problèmes du premier degré.
EXERCICES
