Théorème I. Étant donné un système d'équations, on peut
substituer à l'une quelconque d'entre elles Véquation obtenue en ajoutant membre à membre les équations proposées. Ainsi les systèmes
L'-^iG = G', ^^MG = G',
ID = D', (l) = D',
sont équivalents.
En effet, toute solution du système [1] donne, par hypothèse, des valeurs numériques égales aux deux membres de chacune Alg. B. V^ Partif 7
des équations de ce système : donc olle rend égaux aussi les deux membres de Téqualion [a] ; donc elle vérifie le système [2]. Réciproquement, toute solution du système [2] rendant égales les valeurs numériques ^e B et de B', celles de G et de G', celles de D et de D', rend égales celles de B+G+D et de B'+ G' + D'; et comme elle vérifie, par hypothèse, l'équation [a], il faut qu'elle rende égales les valeurs numériques de A et de A'. Donc efie vérifie le système [1].
150. Remarques. La démonstration précédente est indépendante du nombre des équations.
On peut n'ajouter les unes aux autres qu'une partie des équations qui composent mi système: l'équation résultante remplace Tune quelconque de celles qui ont servi à la former.
On a le droit, avant d'ajouter les équations membre à membre^ de multiplier chacune d'elles par un nombre quelconque; car cette opération (122) n'altère pas les conditions qu'elles imposent aux inconnues.
11 va sans dire que l'on peut, dans l'application du théorème, soustraire membre à membre certaines équations, au lieu de les additionner.
1-40. Théorème II. LorsqueVune des équations d'un système est résolue par rapport aune inconnue, on peut remplacer cette inconnue par sa valeur clans les autres équations : on ramène ainsi le syS' tème à un autre, ayant une inconnue et une équation de moins. Ainsi le système
cç— A,
dans lequel B, B', G, G', D, D' renferment toutes les inconnues d'une manière quelconque, et où A peut renfermer toutes les inconnues à l'exception de x, est équivalent au système
Bi = BV, [21
Ci=G'i,
dans lequel B^, B',, C„ G'^, D,, D'^, sont les expressions obtenues en remplaçant x par A dans B, B', G, C, D, D\
En effet, toute solution du système [l] rendant égales, par hypothèse, les valeurs numériques de x et de A, il est permis de remplacer x par A dans les équations suivantes : or les résultats égaux, que l'on obtient ainsi, sont les valeurs numériques des membres des équations du système [2]. Donc ce dernier système est vérifié par la solution du premier. Réciproquement, toute solution du système [2] rendant x égal à A, il est permis de remplacer A par X dans les équations suivantes, ce qui ramène au système [1].
Les deux systèmes sont donc équivalents.
Gette démonstration est indépendante du nombre des équations.
141. ÉLIMINATION. Lorsque, dans les équations B=B',G = G', D = D', on remplacea; par A, cette inconnue disparaît des équations. On dit alors qu'elle est éliminée. En général, éliminer une inconnue entre m équations, c'est remplacer le système proposé par un système équivalent, dans lequel (??i— 1) équations ne contiennent pas cette inconnue.
