CHAPITRE IVa

RtSOLUTION D'UN XOlIBRE QUELCO\QUE D ÉQUATro\S DU Pl\E3IiER DLGRÉ EXTUE UA ]\03inRE ÉGAL lM:^i. CO.\AUES.

142. On peut, en général, déterminer les valeurs d'un nombre quelconque d'inconnues, lorsqu'on connaît entre elles un nombre égal d'équations du premier degré. Nous allons, dans ce chapitre, exposer les méthodes qui fournissent les solutions, en commençant parle cas le plus simple, celui de deux équations à deux inconnues.

§ 1. Résolution d'un système de deux équations à deux inconnues.

143. Forme générale de l'équation du premier degré a DEUX INCONNUES. Si l'oii désigne les deux inconnues par x et y, une équation du premier degré ne peut renfermer que trois sortes de termes : 1° des termes du premier degré en x; 2° des termes du premier degré en y; 3® des termes tout connus. Or on peut toujours faire passer dans l'un des membres tous les termes qui contiennent soit x, soit y, et y réunir, par l'addition des coefficients, tous ceux qui renferment la même inconnue. Si l'on fait de même passer dans l'autre membre tous les termes connus, et qu'on les réunisse en un seul, l'équation prendra la forme

ax-\-by = Cy

a, h, c désignant des nombres connus. C'est sous celte forme que nous mettrons les équations que nous aurons à résoudre.

144. !«■■ Cas. Il peut arriver que l'une des équations ne renferme que l'une des inconnues. Soit, par exemple, le système

3a? + 72/ = 79, [l] ) Sx=SO. [2] (

L'équation [2], qui ne renferme que a?, fournit immédiatement (128) s;i valeur, a?= 10. Si l'on substitue cette valeur dans l'équation [1], elle devient

Et comme elle ne contient plus alors que l'inconnue y, elle en fournit (128) aussi la valeur, y =1.

Ces deux valeurs, a? = 10, y — 7y vérifient évidemment le système. D'ailleurs il ne saurait exister d'autre solution; car l'équation [2] n'admet que la solution rr = 10; et pour cette valeur, l'équation [i] n'est vérifiée que par y = 7.

Ainsi, pour résoudre le système, dans ce cas particulier, on résout celle des équations qui ne renferme qu'une des inconnues, on substitue dans l'autre équation la valeur trouvée pour celte inconnue^ et Von résout r équation résultante qui fournit Vautre inconnue.

145. 2* Cas. Les deux équations renfermenr'l&S:deitx:Jncon-.^ nues. On ramène ce cas au précédent, en éliminant Tune' des inconnues entre les deux équations (141). On peut é?jdp1(^Bif plusieurs procédés pour opérer cette élimination.

MÉTHODE PAR SUBSTITUTION. Soicut les dcux équatioHs ;

6x—by=l0. [2] ( ^ ^

On peut (118, 122) remplacer l'équation [1] par l'équation

qu'on obtient en faisant passer 7x dans le second membre, et en divisant ensuite les deux membres par 3 : c'est ce qu'on appelle, résoudre V équation par rapporta y. Le système (1) est ainsi remplacé par le système équivalent :

ex — by = lO. [2] )

On peut maintenant (140) remplacer y par — - — dansl'équa-

lion [2] ; et l'on obtient le système équivalent :

Et l'équation [4] ne renfermant plus que l'inconnue rr, on est ramené au premier cas. On résout donc cette équation : elle donne

18ir— 235 + 35a; = 30;

d'où l'on tire (128), x=h. Et cette valeur, substituée dans l'équation [3], donne î/ = 4. Ces deux valeurs, a;=5, y = 4, formant la solution unique du système (3), fournissent la solution unique du système équivalent (1).

La méthode est générale, et conduit à la règle suivante : On, résout l'une des équations par rapport à Vune desinconnues^ et l'on

SUBSIÏTBE Sia>:mleur dans Vautre équation. Comme cette dernière ne renferme plus alors, que l'autre inconnue, on la résout, et on obtient Ick/oai^iifldeMeincQnn Puis on substitue cette valeur dans V expression de làpremïere inconnue y opération qui fournit la valeur de celle-ci.

'MG. Méthode par addition et soustraction. Reprenons le syslème :

7^+3lJ=::47, [I] I

erC— 5î/=:10. [2] j ^ ^

On peut toujours rendre égaux les coefficients d'une môme inconnue dans les deux équations; il suffit, pour cela, de multiplier les deux membres de chacune par le coefficient dont cette inconnue est affectée dans l'autre. Ainsi, en multipliant la première équation par 5 et la seconde par 3, on obtient (122) le système équivalent ;

35a:-hl57/ = 235, [3] j

Les deux coefficients de y étant alors égaux et de signes contraires, on éliminera cette inconnue en ajoutant les deux équations. On obtiendra ainsi une équation

qui, combinée avec l'une des équations (2) ou avec l'une des équations (1), formera un système (3) équivalent au premier.

On sera ainsi ramené au premier cas (144). On tirera de [5] a?=:5; et substituant celte valeur dans l'une des équations, dans l'équation [1], par exemple, on obtiendra la valeur, ij=k.

La méthode est générale, et conduit à la règle suivante : On multiplie chacune des équations par le coefficient dont Vune des inconnues est affectée dans Vautre; on ajoute alors Vune àVaulre, ou Von RETRANCHE Vuuc de Vautre les deux équations résultantes, suivant que les coefficients égaux de V inconnue considérée sont de signes contraires ou de même signe. On obtient ainsi une équation à une inconnue, qui fournit la valeur de cette inconnue. En substituant cette valeur dans Vune des équations proposées, on en tire la valeur de Vautre inconnue.

147. REMARQUE. Si les coefficients que l'on veut rendre égaux

DES ÉQUATIO?rS DU PREMIER DEGRÉ. 103

ne sont pas premiers entre eux, on peut prendre pour coefficient commun leur plus petit multiple commun : il suffit, pour cela, d<3 diviser ce plus petit multiple par chacun des coefficients de l'inconnue à éliminer, et de multiplier chaque équation par le quotient correspondant. Soit, par exemple, le système

é 36X+ 7j/ = 323, j rj-,