U-lly = 377.i

Le plus petit multiple commun à 36 et à 54 est 108 : les quotients de 108 par 36 et 54 sont 3 et 2. On multiplie donc la première équation par 3, et la seconde par 2 ; et Ton a le système équivalent :

lOSx — 22y=754; 1 ''"-'

comme les coefficients de x ont le même signe, on retranche la seconde équation de la première ; ce qui donne :

d'où y = 5; et, par suite, x=8.

148. Autre remarque. Lorsque Ton a trouvé, par la méthode précédente, la valeur d'une des inconnues, on jyeut chercher directement la valeur de Vautre inconnue par la même méthode, au heu de la déduire d'une substitution.

Ainsi, dans l'exemple précédent, pour obtenir x, on multipliera la première équation par 11 et la seconde par 7 ; ce qui

donnera :

et, en ajoutant les deux résultats, on trouvera,

d'où l'on tirera : x=S.

Cette valeur de a; ne peut différer de celle qu'a fournie la substitution : car, d'après les raisonnements précédents, le système [1] est équivalent à l'un quelconque des deux systèmes,

m PV=&, \x=zS,

or chacun de ces derniers ne fournit qu'une solution ; il est donc nécessaire que cette solution soit la même pour ces deux systèmes.

149. Corollaire. On voit qu'en général un système de deux équations du premier degré à deux inconnues admet une solution unique et déterminée.

§ IL Résolution d'un système de trois équations à trois inconnues.

130. RÈGLE. Pour résoudre un système {\) de trois équations à trois inconnues x, y, z, on élimine lune des inconnueSy z par exemple, d'abord entre deux des trois équations, puis entre la dernière et Vune des deux autres : on emploie, pour cela, soit la méthode par substitution (145), soit la méthode par addition et soustraction (146). On obtient ainsi deux équations à deux inconnues \ et y, qui combinées avec Vune des équations proposées, forment un système (2) équivalent au premier : les raisonnements, pour le prouver, sont ceux que nous avons employés dans le paragraphe précédent. On résout le système des deux équations enxet y; et substituant les valeurs trouvées pour ces inconnues dans l'une des équations proposées, on obtient la valeur de z.

151. Exemple I. Soit d'abord à résoudre le système 3a; + 2y + 4^ = ]9,

Zx— y+ %= 4.

Pour appliquer la méthode précédente, nous devons, par exemple, déduire de l'une des équations la valeur d'une inconnue, et la substituer dans les deux autres. Comme on peut choisir l'une quelconque des trois inconnues, et la déduire de l'une quelconque des trois équations, il y a neuf manières de commencer le calcul; on voit que la plus simple, dans l'exemple proposé, consiste à prendre la valeur de y dans la troisième équation, parce que l'on n'introduit pas ainsi de dénominateur. On obtient :

y = Zx-\-% — k',

et, par substitution de cette expression, les deux premières équations deviennent :

OU, en réduisant, fi7x + 8^ = 41.

Ces équations, résolues par les méthodes exposées (145, 14LG), donnent

Puis ces valeurs, substituées dans l'expression de y, y — 2>x-\r% — k,

DES ÉQUATIOiNS DU PREMIER DEGRÉ. 105

donnent !/ = 2 ;

et la solution cherchée est, par conséquent,

Exemple II. Soit encore à résoudre le système d'équations :

c^-{-c'^x + cy-\-s = 0;

nous appliquerons la seconde méthode (146). Comme s n'a pas de coefficient, nous retrancherons successivement la première équation de chacune des deuxautres; et nous obtiendrons les deux équations nouvelles, indépendantes de s,

Or la première de ces équations est divisi}3le par (5 — a), la seconde par (c — a) ; si l'on supprime ces facteurs, elles deviennent :

}p -{- ah + a^ -\- [h + a) X + y = 0 , c^ + ac-{-a^-\- {c +a)x + y = 0.

Pour les résoudre, on peut procéder de la même manière, et soustraire la première de la seconde ; on obtient ainsi :

c^^h'^aic — b) + {c — b)x = 0; ou, en divisant par (c — 5),

De là on tire : x=z — a—h — c,

et. par suite,

t/=— &'— a&— a2--(b4-a)a;=a& + ac + &c.

Enfin ces valeurs de x et y, substituées dans l'expression

Z = — a^ — a^x— ay, donnent

X = — a^ + a^{a + h + c)—aiab + ac-\-bc)=—abc.

§ III. Résolution d'un nombre quelconque d'équations du premier degré.

lo2. RÈGLE GÉNÉRALE. Pour résoucîre un nombre quelconque d* équations renfermant un nombre égal d'inconnues, on peut déduire de fune d'elles la valeur d'une inconnue, et substituer (140) cette valeur dans toutes les autres : celles-ci contiennent alors une inconnue de moins; et, en complétant leur système par V équation qui fournit Vexpression de la première inconnue, on obtient un système équivalent au système proposé.

On peut aussi éliminer l'inconnue entre Vune des équations et toutes les autres, par laméthode d'addition et de soustraction (146) :

on obtient encore un système équivalent (158), enjoignant à Vensembli des équations nouvelles l'équation dont on s'est servi pour faire disparaître cette inconnue.

Dans tous les cas, la résolution d'un système de n équations à n inconnues est ramenée ainsi à la résolution de (n — 1) équations à in — l) inconnues. La résolution de ces dernières se ramènera de même à celle de (n— 2) équations à (n — 2) inconnues; et, en continuant ainsi, on sera conduit à une équation ne contenant qu'une inconnue.

Le système équivalent au système proposé renfermera alors n équations, ainsi composées : la dernière ne renfermera qu'une inconnue, la (n — 1)°^« renfermera cette inconnue et une autre j la- (n 2)me contiendra ces deux inconnues et une troisième....; enfin la première contiendra toutes les inconnues. Et il est évident quon pourra résoudre successivement toutes ces équations en commençant par la dernière et en remontant jusqu'à la première, et qu'on obtiendra ainsi les valeurs de toutes les inconnues,