RÉSOLUTIOIV DES PROBLEMES DU PREMIER DEGRÉ
10 î. La resolution d'un problème compi-end trois parties disluictcs : 1° In mise en équation; 2° la résolution des équations; 3° la discussion de la solution.
On dit qu'un problème est du premier degré, lorsque Ton est conduit, pour le résoudre, à des équations du premier degré. Nous avons appris à trouver les solutions de ces sortes d'équations : nous n'avons donc à nous occuper maintenant que delà première et de la troisième partie*
§ I. De la mise en équation,
1C3, Règle pour la mise en équation d'un problème. Nons avons déjà dit (155), qu'il est impossible de donner, pour obtenir les équations d'un problème, une règle complètement générale : on se borne ordinairement à l'indication suivante.
Apres avoir étudié avec soin V énoncé du 'problème , on représente par les lettres x, y,... les nombres dont la connaissance fournirait la solution : on indique sur ces lettres et sur les données la série des opérations que l'on devrait effectuer ^ si^ après avoir trouvé les valeurs des inconnues^ on voulait vérifier qu elles satisfont à toutes les conditions de l'énoncé. Ces calculs de vérification conduisent , en général, à des résultats qui doivent être égaux ; en égalant les formules qui représentent ces résultats, on obtient les équations du problème.
Montrons par des exemples comment on cipplique cette règle.
166. Problême I. Un réservoir plein d'eau peut être vidé par deux robinets A, B, d'inégale grandeur. On ouvre le robinet A, et Von fait couler le quart de l'eau. Puis on ouvre le robinet B, et on les laisse couler tous les deux. Le réservoir achève de se vider; et il emploie, pour cela, cinq quarts d'heure de plus que le premier A n'a mis de temps pour vider le quart de Veau. Si Von eût ouvert les deux robinets dès le commencement, le réservoir eût été vidé un quart dlieure plus tôt. On demande combien de tem^ps il faudrait au robinet A, s'il était seul ouvert, pour vider le réservoir.
Soit x le nombre d'heures employées par le robinet A pour vider seul le réservoir.
Pour en vider le quart, le robinet A emploie un temps -.
Pour vider les trois autres quarts, les deux robinets, ouverts ensemble, em-
x 5 ploient un temps - + - .
Par suite, pour vider le réservoir entier, ils emploieraient les - de ce temps,
D'un autre côté, le temps total employé dans l'expérience, pour vider d'abord le premier quart à l'aide de A, puis les trois autres quarts à l'aide de A et B, est
Puisque ce temps est supérieur d'un quart d'heure à celui qu'auraient employé
A et B ouverts ensemble dès l'origine, c'est-à-dire à - -f - ,on a donc l'équation ;
résolue, donne î
Vérification. Le temps employé par le robinet A, pour vider le quart du réservoir, est 1 heure : par suite le temps employé par les deux robinets, pour vider les trois autres quarts, est 1'' + ^^, ou f" : et le temps qu'ils emploieraient à vider le réservoir entier est les -f de f d'heure ou 3 heures. D'un autre côté, dans Texpérience, le réservoir a été vidé en 1»'+ ^^, ou en S** 1/4; l'expérience a donc duré \ d'heure de plus, comme l'exigeait l'énoncé.
16 T. Problème II. Un renard, poursuivi par un lévrier , a 60 sauts d'avance: il en fait 9 , pendant que le lévrier n'en fait que 6; mais 3 sauts de levier valent 7 sauts de renard. Combien le lévrier fera-t-il de sauts, avant d'atteindre le renard ?
Soit X le nombre de sauts que fera le lévrier, avant d'atteindre le renard.
Puisque trois sauts de lévrier valent sept sauts de renard, x sauts de lévrier
1 X vaudront — sauts de renard : première expression du chemin (évalué en sauts o
de renard), que doit parcourir le lévrier.
D'un autre côté, pendant que le lévrier fait 6 sauts, le renard en fait 9 :
donc, pendant que le lévrier fait x de ses sauts, le renard fait — • des siens, et,
puisque ce dernier a 60 sauts d avance, 60 + -^ est une seconde expression du
chemin (évalué avec la même unité) , que doit faire le lévrier. On a donc l'équation : — = 60 + —,
qui, résolue, donne : « = 72 sauts.
Vérification. Les 72 sauts de lévrier valent ^ de 72 ou 168 sauts du renard. Or, pendant que le lévrier en fait 72, le renard en fait 108; et ces 108 sauts, ajoutés aux 60 sauts que ce dernier a d'avance, complètent bien les 168 sauts de renard, chemin du lévrier.
168. Problème III. On demande de trouver un nombre de quatre chiffres^ sachant : 1° que le chiffre des centaines est égal à la somme du chiffre des unités et de celui des dizaines; 2° que le chiffre des dizaines est égal au double de la somme du chiffre des mille et de celui des unités ; 3° qu'en divisant le nombre parla somme de ses chiffres, on a pour quotient 109 et pour reste 9; 4° qu'enfin en retranchant le nombre du nombre formé avec les mêmes chiffres rangés dans V ordre inverse, on obtient pour reste 819.
Désignons para:, y, ;?, v les chiffres des unités, des dizaines, des centaines et des mille. La première condition donne immédiatement l'équation,
et la seconde, y = 2r + 2a;. [2]
Le nombre cherché a pour valeur lOOOu + 100^+ lOy + a; : donc la 3' conditioa donne l'équation :
lOOOv + 100;? + lOy -f- a; = 109 (x + y -i- ;s + i) + 9. [3]
Enfin la quatrième condition fournit l'équation :
1000a; + 100î/ + 10;r + v—(1000u + lÛO^ + 10y-}-a;)=819. [4] Avant de résoudre ce système de quatre équations, on simplifie les deux dernières, qui se réduisent à
22n— z—lhj— nx=zl, [3]
llla;+ lOy— 10s— ll]i-=91. [4]
On élimine d'abord z entre [1], [3] et [4], et l'on trouve :
lOU — lllr=91. [6]
Puis on élimine y entre [2] et [5], ce qui donne :
lbv — 31x=l. [7|
Enfin on élimine x entre [6] et [7] : et l'on trouve t
v=l; et, par suite, x = 2, y = G, z=8.
Le nombre cherché est donc 1SG2.
La vérification se fait immédiatement.
169. Il arrive parfois que les conditions d'égalité, données par l'énoncé, paraissent surabondantes.
Problème IV. Un père partage son héritage entre ses enfants de la manière suivante : il donne au premier une somme a et la n'^'' partie du reste : il donne au second une somme 2a et la n"= partie de ce qui reste, après le prélèvement de ces sommes : il donne au troisième une somme 3a et la n-« partie de ce qui reste. Et aiîisi de suite. Il arrive que l'héritage est entièrement partagé, et que tous les enfants ont reçu des parts égales. On demande la valeur de Vhéritage, le nombre des enfants et la part de chacun d'eux.
Désignons par x la valeur de l'héritage.
La part du premier enfant est :
a + illf, ou ^+^^-^)^ n ' n '
Il reste pour les autres :
ou
Le second enfant prend d'abord 2a.
Il reste alors :
(n-1) *ix-a) (n-l)a:-(3u-])q
La part du second enfant est donc :
o^ I (^-1) a;-(3n-l) a (n — ])x+ (on^-.3/; + Q g
Puisque, d'après l'énoncé, les parts doivent être égales, on aura l'équation :
En résolvant cette équation , on trouve :
Comme nous n'avons employé, pour trouver la formule de l'héritage, que les expressions des deux premières parts, il est nécessaire de calculer leurs valeurs, et de constater qu'elles sont égales à celles dont l'expression n'a pas servi, puis de déterminer le nombre des enfants. Or, la part du premier est :
— — —, ou — -, ou (n — l) a.
La. part du second est :
(n — l) .r+(2n2— .3n+1) a (n — l)3a + (!>n'— 3n + 1) g. n- ~ ri?
La part du troisième est, d'après l'énoncé :
Et l'on verrait de même, que toutes les parts sont égales à [n — 1) a.
En divisant la valeur de Théritagepar la part d'un enfant, on aura le nombre des enfants. Ce nombre est donc (n—l).
Et l'on reconnaît que toutes les conditions de l'e'noncé sont remplies.
170. Emploi d'inconnues auxiliaires. Lorsque l'énoncé d'un problème ne permet pas d'apercevoir aisément les relations qui doivent exister entre les données et les résultats; on peut quelquefois faire usage àHnconnues auxiliaires, que Ton élimine ensuite entre les. équations qui les renferment. En voici un exemple, tiré de V Arithmétique universelle de Newton,
Problème V. Il a fallu n bœufs pour manger en t jours, Vherhe d\in pré, dont la surface est a, ainsi que celle qui y croissait uniformément pendant ce t'àmps. Il a fallu n' bœufs pour manger en t' jours, Vherbed'un autre pré, dont la surface est a', ainsi que celle qui y croissait uniformément pendant ce temps. On demande comhien il faudra de boeufs, pour manger en b jours, l'herbe d'un troisième pré, dont la surface est a, ainsi que l'herbe qui y croit uniformément pendant ce temps.
On suppose que la hauteur de l'herbe était la même dans les trois prés, avant l'introduction des bœufs; et on la désigne par y : on suppose encore que l'allongement de l'herbe, en un jour, est la même pour les trois surfaces : et on la représente par z : y eX X sont des inconnues auxiliaires. Soit, d'ailleurs, x le nombre des bœufs à introduire dans le troisième pré.
Puisque la hauteur de Therbe, dans le premier pré, croît chaque jour d'une quantité %, son accroissement, pour t jours, sera tz) et la hauteur totale de l'herbe serait y + ^;2,aubout de ce temps. Par suite, le volume total de cette herbe est a (y + tz). Or, cette quantité est mangée par n bœufs, en t jours : donc un seul bœuf, en un jour, en mange une quantité représentée par l'expression
, g (y^tz) nt
Il est évident, que les quantités mangées par un bœuf, en un jour, dans le second et dans le troisième pré, sont respectivement
n't' ' iTÔ *
Comme ces quantités doivent être égales, on a ainsi les équations :
a{y-^t%) a'{y-^t'z) a(y-}-0£)^ nt n't' 6 a;
On tire d'abord de la première y en (onction de z; et l'on trouve :
(an' — a'n)tt'z
ant — ane
Puis, on remplace dans la seconde
a(y+ tz) ^a{y + bz) nt ' bx *
y par cette valeur : a disparaît de lui-même; et l'on trouve enfin
a [ an't'[b'—t) + a'ntjt' — h) ] "~ aâ''}\,i'—t)
Newton donne l'application numérique suivante :
a = 3 - arpents, t = 4 semaines , n ^ 1 2 bœufs,
§ II. De la discussion.
171. Ce que c'est que discuter une solution. Lorsqu'on a mis un problème en équation, et qu'on a résolu le système ainsi obtenu, la solution convient aux équations, à moins qu'elle ne se présente sous une forme illusoire dont nous parlerons plus loin. Mais celte solution ne convient pas toujours au problème posé. Il peut arriver en effet, que certaines conditions, imposées aux inconnues par la nature de la question, mais non reproduites par les équations, rendent le problème impossible. Étudier les causes de cette impossibilité, c'est discuter la solution.
Lorsque les données sont représentées par des lettres, et que, par suite, les valeurs des inconnues sont exprimées par des formules, il peut arriver que le problème ne soit possible qu'autant que les valeurs des données sont renfermées entre certaines limites. Déterminer ces limites, en dehors desquelles il y a impossibilité, c'est discuter la solution.
Enfin, étudier toutes les circonstances remarquables que peuvent présenter les formules, entre les limites déterminées par la discussion, c'est encore discuter la solution.
Donnons quelques exemples :
172. Problème VI. Dans une société de lOpersonnes, on a fait une collecte pour les pauvres : chaque homme a donné 6 francs, chaque femme a donné 4 francs. La somme totale recueillie est de kb francs. On demande combien il y avait d'hommes, combien de femmes?
Soient x ety les nombres d'hommes et de femmes, On a d'abord :
Puisque chaque homme a donné 6 francs, x hommes ont donné 6x, Puisque chaque femme a donné 4 francs, y femmes ont donné 4y. Donc on a :
En résolvant ces deux équations, on trouve :
Discussion. Cette solution fractionnaire est la seule qui convienne aux équations : d'ailleurs, ces équations sont la traduction fidèle et complète de l'énoncé. Donc le problème ne saurait avoir d autre solution. Mais, la nature de la question exige que la solution soit composée' de nombres entiers : puisque les nombres trouvés sont fractionnaires, le problème est impossible.
173. Problème VII. Une personne emploie un ouvrier pendant 13 joui'nées d'été, et lui retient sur son salaire 22 francs pour quelques dégâts qu'il a causés. Une autre fois, elle emploie le même ouvrier pendant 17 journées d'hiver ; elle lui donne par jour 2 francs de moins que pour une journée d'été; mais elle ajoute à son salaire 28 francs pour le récompenser de son zèle. Chaque fois, l'ouvrier a reçu la même somme. On demande le prix d'une journée d'été.
Soit X ce prix; (x — 2) sera le prix d'une journée d'hiver. La première fois, l'ouvrier a reçu (13x — 22). La seconde fois, il a reçu 17 (x — 2) +28. On a donc l'équation :
En la résolvant, on trouve: x= — 4.
Discussion. Cette solution négative vérifie l'équation, et la vérifie seule. Le problème, dont cette équation traduit l'énoncé, ne saurait donc en avoir d'autre.
Or la nature de la question exije que la solution soit un nombre positif; puisque ce 7iomhre est négatif, le problème est impossible.
1 7^. Problème VIII. Trouver un 7iombre de deux chiffres, tel que le quadruple du chiffre des unités surpas.se d'une unité le triple du chiffre des dizaines; et qu'en retranchant de ce nombre le nombre renversé, on ait 36 pour reste.
Soient x le chiffre des dizaines et y le chiffre des unités : on a évidemment les équations:
iiy — 3x= 1, 10a; + y — lOy— a;=36.
En résolvant ce système, on trouve :
x = ll, y = ]3.
Discussion. Cette solution entière et positive est la seule qui vérifie les équations. Le problème n'en peut donc pas admettre d'autre. Mais, la nature de la question exige que les deux nombres cherchés soient plus petits que 10 : puisqu'ils dépassent cette limite, le problème est impossible.
Ces exemples suffisent pour montrer que la solution d'un système d'équations peut ne pas convenir au problème qui Ta fourni, parce qu'elle ne remplit pas certaines conditions imposées aux inconnues, conditions qui ne sont pas formellement écrites dans les équations. Mais ce n'est là qu'un des points de vue sous lesquels on peut envisager la discussion des problèmes. Il en est un autre beaucoup plus important: nous voulons parler des solutions négatives et de leur interprétation.
§ III. Des solutions négatives des problèmes du premier degré à une inconnue.
175. Solutions négatives des équations. Il n'y a aucune remarque à faire sur les nombres négatifs que l'on rencontre comme solution d'une ou de plusieurs équations. Ces nombres, substitués aux inconnues et traités conformément aux conventions, rendent le premier membre de chaque équation ég-al au second. Mais lorsque les inconnues représentent des grandeurs à déterminer, il semble que les solutions négatives, n'exprimant aucune grandeur, doivent être considérées comme un symptôme d'impossibilité, et, par suite, rejetées comme inadmissibles. C'est en effet ce qui aurait lieu, si, dans la mise en équation, on pouvait toujours exprimer, d'une manière générale et pour tous les cas, les conrlitions du problème proposé. Mais bien
souvent il n'en est pas ainsi ; et les solutions négatives peuvent trouver alors une interprétation qu'il est important d'éludier.
