Considérons d'abord une équation à une inconnue

ax-\-b = a'x-}-b'. . [1]

Supposons qu'en la résolvant, on ait trouvé, pour x, une valeur négative — a ; cela signifie que l'on a l'égalité :

a(-a) + b = a'f-'x)+b\ c'est-à-dire, b — acc^b' — a'a;

par conséquent, x = -\-a est solution de l'équation :

b — ax = b'—a'x. [2]

Si Ton compare les équations [1] et [2], on voit qu'elles ne diffèrent que par le signe des termes qui contiennent l'inconnue.

Théorème. Toute solution négative d'une équation du premier degré à une inconnue, étant prise positivement, satisfait donc à une équation que Von obtient^ en changeant, dans la première, le signe des termes où figure V inconnue.

177. Remarque. Il arrive souvent, comme nous allons le montrer, que celte nouvelle équation correspond à un problème peu différent du proposé, et quelquefois à ce problème lui-même, entendu dans un sens plus général ; on obtient alors la solution du problème modifié ou généralisé^ en prenant, avec le slgjiQ |-ja valeur négative trouvée pour Vinconnue.

Une pareille remarque ne peut être développée d'une manière générale; il est essentiel d'étudier, à part, son application dans chaque question particulière. C'est ce que nous allons faire dans les problèmes suivants.

lï 8. Problème IX. Deux mobiles M et N, gui suivent une ligne droite, partent de deux points A et B, situés à une distance d Vun de Vautre (A à gauche, B à droite) ; ils marchent, dans le même sens, de gauche à droite, avec des vitesses V et v'. Après combien de temps se rencontreront-ils ?

Soit X le temps cherché ; le premier mobile, dont la vitesse est v, parcourt un espace v dans l'unité de temps, et par suite , dans le temps x, il parcourt vx; le second, pendant le même temps, parcourt l'espace v'x. Puisqu'ils partent en même temps, il faut, pour qu'ils se rencontrent, que le premier ait parcouru un espace d de plus que le second ; on doit donc avoir l'équation :

rx — v'x=:d', [1]

d'où l'on déduit : x=z ; .

Discussion. Si v est plus grand que v', cette valeur de x est positive et fournit ?a solution demandée. Mais si v est moindre que v', cette solution est négative. Pour l'interpréter, remarquons que, prise positivement, elle satisfait, en vertu du théorème (176), à l'équation :

v'x — vx — d. [2]

Or cette équation exprime évidemment, que le chemin parcouru par le mobile N surpasse de d le chemin parcouru par le mobile M ; et cette condition répond à la question suivante :

En supposant que les deux mobiles soient en marche depuis un temps indéfini, combien y a-t-il de temps qu'ils se sont rencontrés? Car, dans cette hypothèse, la rencontre a eu lieu à gauche de A.

Si donc on veut donner cette extension au problème, la valeur négative de x exprime un temps déjà écoulé.

On comprend d'ailleurs que, si l'on a v<v', le mobile M, qui est en arrière du mobile N, et qui va moins vite que lui, ne pourra pas le rencontrer ultérieurement, mais qu'il a dû le rencontrer avant l'époque actuelle.

ITO. Problème X. Les âges de deux individus sont a. et h; après combien de temps Vâge du premier sera-t-il double de celui du second ? Soit a;. le temps cherché; l'équation du problème est évidemment :

et Ton en déduit: x=za — 2b.

Discussion. Si a est plus grand que 2b , cette valeur de x est positive, et fait connaître la solution. Mais, si a est moindre que 2b, cette solution est négative; prise positivement, elle satisfait alors (1Î6) à l'équation,

qui correspond évidemment à la question suivante :

Combien y a-t-il de temps que Vâge du premier individu était double de celui du second ?

Si l'on accepte cette extension, la valeur négative de x exprime encore un temps écoulé.

Remarquons que le rapport actuel des deux âges est p si donc il est plus grand

que 2 (si a> 2b), comme il va en diminuant à mesure que le temps s'écoule, il arrivera une époque où il deviendra égal à 2 : c'est le cas de la solution positive. Au contraire, s'il est actuellement plus petit que 2 (si a<2b), comme il se rapproche toujours de l'unité, il ne sera jamais égal à 2 dans l'avenir : il n'y a do;ic pas de solution dans ce sens. Mais si, en même temps, a est supérieur à 6, il y a eu' une époque où le rapport des âges a été égal à 2 ; c'est cette époque qu'indique la solution négative.

Ajoutons que , si a est inférieur à b, le problème n'a évidemment pas de solution; et Ton voit qu'en effet la formule x^2b — a, applicable à ce cas, donne à X une valeur plus grande que b, qui n'est pas acceptable.

180. Problème XI. On donne sur une droite, deux points A et B : le premier est situé à gauche d'un point 0, à une distance a, et le second est situé à

droite, à une distance b. Déterminer, sur cette ligne, un troisième point X, tel qu'en prenant le milieu M de BX, puis le tiers de AM, à partir de A, k point déterminé coincide avec le point 0.

Supposons que le point cherché X soit placé à droite du point 0. Soit X la distance OX, que nous prenons pour inconnue. Comme ou a évidemment, d'après la figure :

b = OM + MB

X = OM — MX et que MB = MX, il en résulte :

f'onc : AM = a H r^.

Mais d'après l'énoncé, AM = 3A0 — 3a.

Il en résulte l'équation :

d'oii l'on déduit : a; = 4a — b.

Discussion. Si b est p'.us petit que 4a, cette valeur de x est positive, et donne la solution. Mais, si 4a est moindre que b, la solution est négative ; prise positivement, elle satisfait donc (l^G) à l'équation :

Or cette équation est celle à laquelle on est conduit, en supposant le point X placé à une distance x, à gauche du point 0. Car, en faisant la figure pour celte hypothèse, on trouve aisément :

(b=OM + MB, ^, . ^^^ b-x , ,,, h-x

d'où 0M=— - — , et AM = aH -— ;

a; = MX— OM; 2 ' 2 '

donc 3a=a -\ ^ . [2]

Il résulte de là, que la valeur négative de x, fournie par Véquation [1], doit, dans ce cas, être portée dans un sens opposé à celui que Von avait supposé dans la mise en équation.

181. Remarque. Il ne faut pas croire que les solutions négatives s'interprètent toutes aussi naturellement que les précédentes. On ne doit pas môme affirmer, d'une manière générale, qu'une valeur négative, trouvée pour un temps à venir, exprime un temps passé; ni que les longueurs négatives, à porter sur une ligne, à partir d'une origine fixe, doivent toujours être comptées en sens op- Alg. b. pe Partie. 9

130 LlVaE II.

posé à celui qui correspond aux valeurs positives. Il en est cependant ainsi dans la plupart des cas ; et nous allons en donner la raison.

182. Pourquoi l'on doit compter dans le passé les valeurs NÉGATIVES DU TEMPS. Supposons quc, X désignant le temps qui doit s'écouler depuis l'époque aclurlle jusqu'à un certain événement, on ait trouvé, pour l'équation d'un problème :

B+Aa; = B'4-A'a;. [1]

Si, au lieu de chercher le temps qui doit s'écouler à partir de l'époque actuelle, on avait cherché le temps qui doit s'écoulera partir d'une époque antérieure de t années; si, par exemple, on avait pris pour inconnue la date de l'événement, en nommant Xi ce temps, on aurait évidemment :

Xi = t-\-x; d'où x~Xi—t; et, par suite, au Heu de l'équation [1], on aurait eu:

et ce serait là l'équation du problème, si Ton prenait Xi pour inconnue.

Supposons que la valeur de x^, que l'on en déduit, soit positive, mais moindre que tj et égale, par exemple, à (î — a) ; on aura, en la substituant dans l'équation [2], l'égalité : B — Aa = B' — A'a;

par où l'on voit, que l'équation [1] a pour solution : x=—<x.

Une solution négative j x= — a, trouvée pour V équation [1], sigui fie donc, que V événement est postérieur de (t — a) années à une époque antérieure de t années à l'époque actuelle^ c'est-à-dire qu'il précède de a années l'époque actuelle.

185. Remarque. L'équation [1] est construite, par hypothèse, pour des valeurs positives de x : par conséquent, l'équation [2] est construite pour des valeurs de Xi plus grandes que ï, c'est-àdire pour des époques postérieures à l'époque actuelle. En appliquant cette dernière, comme nous l'avons fait, à une époque antérieure, nous avons fait une hypothèse qui pourrait n'être pas admissible. Le raisonnement précédent n'est donc pas tout h fait général.

184. Pourquoi l'on doit compter, en sens contraire du sens convenu, les valeurs négatives des distances. Supposons

maintenant que, x désignant la distance à porter sur une ligne, à partir d'un point donné 0, et dans une certaine direction, à droite par exemple, on ait trouvé, pour équation d'un problème,

B+Aa; = H' + A'a;. [1]

Si, au lieu de chercher la distance du point inconnu à l'origine donnée 0, on avait cherché sa distance x^ aune origine 0', située à gauche de la première, à une distance d, on aurait eu :

a;i=d + ^> ou x=^x^ — d\

et, par suite, au heu de Téquation [1], on aurait eu, pour équation du problème :

Supposons que cette équation fournisse pour iCi une valeur positive, mais moindre que d, que je représente par (c? — a) ; pour avoir la position X du point cherché, il faudra d'abord porter la distance d de 0' en 0, puis porter en sens contraire la distance K de 0 en X. Le point cherché sera donc à gauche du point 0, et à une distance a de cette origine. Or, en substituant à x^^ dans l'équation [2], sa valeur (d — a), on a :

B — Aa = B'— A'a;

d'où il résulte, que l'équation [1] a pour solution : a?= — a.

\]nQ solutio?i néyative x= — a, trouvée pour V équation [1], signifie doncy que le point cherché est situé à gauche du point 0, et à une distance a de cette origine.

18o. Remarque. Nous remarquerons, comme au n<* 183, que le raisonnement précédent n'est pas tout à fait général ; il suppose que l'équation [2], qui est construite pour les points situés à droite du point 0, puisqu'on l'a déduite de l'équation [1], s'applique aussi aux points situés à gauche. Or cela n'a pas toujours lieu; et nous en donnerons un exemple.

186. Problème X II. Un chemin de fer prend 0^ , 10, par tonne et par kilomètre, your le transport des marrjiandises ; on paye, en outre, un droit fixe de 3^75 par icagon de 2000 kilogrammes. A quelle distance peut-on transporter 50 tonnes pour 3 fr.?

■- Soil X la distance cherchée.

50 tonnes correspondent à 25 wagons; le droit fixe à payer est donc ue

En outre, pour le transport à la distance x, le droit proportionnel est 0,lOX50xa:.

L'équation du problème est donc :

3,75X25 + (0,10x50Xa;) = 3; |1]

et. en la résolvant, on trouve : a;=:— 18,15.

Discussion. Cette valeur négative ne signifie ici absolument rien. Car les prix du transport de 50 tonnes, à 18'', 15, à droite ou à gauche du point de départ, sont exactement les mêmes; par suite, si le point cherché se trouvait à gauche, à 18'', 15, comme semble l'indiquer la solution négative, il y en aurait un autre, situé à droite, à la même distance; et l'équation, qui est construite pour ce cas, fournirait la solution x=-{- 18,15. On reconnaît, d'ailleurs, à priori, que le problème est impossible ; car le droit fixe, étant S*", 75x25, est supérieur au prix total que l'on devrait payer^ pour ce droit et pour le transport.

On peut s'assurer que, dans ce cas, le raisonnement du n" 184L est en défaut. En effet, supposons que, les 50 tonnes devant être portées vers la droite, on prenne pour origine un point 0 situé k une distance d, à gauche du point de départ; la distance Xi du point cherché à cette origine sera {x-\-d); et l'on aura x=:Xi — d. L'équation du problème deviendra donc :

3,75X25 + 0, 10X50x(rr,-d)=:3. [2]

Si cette équation (qui est construite pour les points situés à droite du point di départ, puisqu'on l'a déduite de l'équation []]) était applicable aux points situés à ç'^uche, le raisonnement (184) pourrait être continué, et une valeur de a;i, positive, mais moindre que d, correspondrait eff"ectivement à un point situé à gauche. Mais l'équation [2] ne convient nullement au cas du transport effectué vers la gauche. Dans ce cas, en effet, le chemin parcouru doit être représenté par d — Xi; et il faut prendre, pour équation du problème, l'équation

3,75x25 + 0,10X50x(d-rcO=3, [2]

qui diffère de l'équation [2].

§ IV. Introduction des nombres négatifs dans l'énoncé d'un problème.

187. Avantages de cette introduction. Il est quelquefois avantageux d'introduire des nombres négatifs dans les données mêmes d'une question. Pour montrer comment on peut y être conduit, et de quelle nature est l'avantage qu'on y trouve, nous reprendrons le problème du n° 178.

Deux mobiles M et M', suivent la droite AA', en marchant dans le même scîis AA' : M part de A avec la vitesse v, en même temps que W part de M avec la vitesse v'. Apres combien de temps se rencontrent-ils?

En nommant x le temps inconnu, et d la distance AA', on a trouvé l'équation