IT

\jx — vx=zd.

DES ÊQUATIOxNS DU PREMIER DEGRÉ. 133

On a vu, que cette équation fournit la solution du problème, lors même que v est moindre que r', pourvu que l'on regarde la valeur négative de x comme représentant un temps déjà écoulé.

Pour généraliser encore davantage, supposons que les deux mobiles ne marchent pas tous deux dans la direction AA' : on peut considérer trois cas distincts.

r Le mobile M marche vers la droite, et le mobile M' vers la gauche;

ils se rencontrent entre A et A', après avoir parcouru, l'un vx et l'autre v'x; et par conséquent l'équation du problème est :

vx + v'x=d.

2° -M marche vers la gauche, M' vers la droite;

Les mobiles ne se rencontreront jamais; mais en nommant x le temps écoulé depuis leur rencontre entre A et A', ils auront parcouru, l'un vx et l'autre v'x, quand ils seront arrivés, l'un en A et l'autre en A'. On aura donc :

vx + v'x=d.

3° Enfin, si l'on suppose que les mobiles marchent tous deux vers la gauche,

la rencontre aura lieu à gauche de A; et l'équation du problème sera, dans ce cas: v'x—vx^=d.

Les équations relatives aux quatre cas sont donc, en résumé : vx—v'x^=d, quand M et M' marchent vers la droite; vx-\-v'x=d, quand M marche vers !a droite, M' vers la gauche ; vx + v'x=d, quand M marche vers la gauche. M' vers la droite; x désigne

alors un temps déjà écoulé; v'x — vx = d, quand M et M' marchent vers la gauche.

Or, ces quatre équations peuvent se réduire à une seule, ce qui est évidemment un avantage, si l'on convient de représenter par des nombres négatifs (— r) , {—v') les vitesses dirigées vers la gauche. D'après cette convention, il faut, en effet, remplacer dans la seconde des équations ci-dessus, v' par {—v')] dans la troisième, v par ( — r); dans la quatrième, v par {—v), v' par {—v'). De plus, dans la troisième, où l'inconnue désigne un temps écoulé, il faut remplacer jb par {—x).

Les équations deviennent toutes, par ces substitutions : IX — v'x=^d;

en sorte que la formule, x= r,

que l'on en déduit, convient à tous les cas.

Ainsi, V avantage que Von relire de V introduction des nombres nè^ gatifs dans les données d'une question^ est de réduire à une seule les équations qui correspondent aux différents cas du problème, et, par suite, de n'avoir à considérer qu'une seule formule pour les résoudre.

§ V. Des solutions négatives des problèmes du premier degré , à deux inconnues.

183. Nous n'avons considéré, jusqu'à présent, que les solutions négatives fournies par une équation à une inconnue. Le cas de plusieurs équations donne lieu à des remarques entièrement semblables*. Supposons qu'en résolvant le système :

ax + by = cA

on ait trouvé, pour l'une des inconnues, ou pour toutes les deux, des valeurs négatives. Soient, par exemple, ic = a, y = — p. Hes valeurs satisfaisant aux équations [1], on aura les égalités :

aoL — b^ = c,

et par conséquent, les valeurs x=(x^ y= % satisfont au système :

ax — by := c, \

ax

Ainsi, en prenant positivement la solution négative y = — p, on satisfait à un système qui diffère du proposé par le cli;mgeraent de signe des termes en y. On verrait de môme que, si la valeur de x était négative, on pourrait la prendre avec le signe +, pourvu qu'on changeât, dans les équations proposées, les signes de tous les termes en x.

Théorème. En général, lorsqu'en résolvant un système d'équations, on trouve pour quelques-unes des inconnues des valeurs négalives, on peut prendre toutes les valeurs des inconnues avec le

DES ÉQUATIONS DU PREMIER F) KG HÉ. Lis

signe -\-; elles sont alors Us solutions d'un nouveau système, leautl ne diffère du système proposé^ que par le changement de signe des termes qui contiennent les inconnues dont les valeurs sont négatives.

i89. Remarque. Les équations nouvelles, auxquelles satisfont les valeurs négatives des inconnues prises positivement, correspondent quelquefois à un problème peu différent du proposé, ou à ce problème lui-même, entendu dans un sens plus général. On obtient alors la solution du problème modifié ou généralisé, en prenant, avec le signe +, les valeurs négatives trouvées pour les inconnues. Mais cette remarque, comme dans le cas dt s équations à une inconnue, ne peut êîre développée que sur des questions particulières.

Considérons, par exemple, le problème suivant.

ISO. Problème Xill. Un réservoir, de capacité y, est rempli, dans un temps t, far n robinets, versant chacun la même quantité d'eau, et par la pluie tombée uniformément sur un toit dont la surface est s. Un autre réservoir, de capacité^', est rempli, dans le temps {', par n' robinets semblables aux précédents, et par la pluie tombant uniformément sur un toit s' avec la mêvie intensité qiie sur le toit s. Déduire de ces données la quantité d'eau, x, versée par chaque robinet dans Vunité de temps, et la quantité y versée par la pluie, pendant chaque unité de temps, sur chaque unité de surface de tcit.

Puisqu'un robinet verse, dans i'unilé de temps, une quantité d'eau égale hx,n robinets, dans le temps t, verseront nxt.

La pluie versant, dans l'uuité de temps, une quantité d'eau égale à y, sur l'unité de surface, versera, dans le temps t, sur la surface s, une quantité d'eau sijt; on aura donc l'équation :

nxt -\- syt=iv. [Ij

En exprimant que le second réservoir est rempli dans le temps (', on aura de même l'équalion !

et les équations [1] et [2] permettront de calculer x et y.

Supposons maintenani., qu'en les résolvant, on trouve pour x une valeur positive a, et pour y une valeur négative — p. Il faudra en conclure («S»), que les valeurs a; = a,y =p satisfont aux équations :

nxt — siji ^=r, n'xî' — s'y.'=r'.

Ces équations correspondent à un protlème qui diffère du proposé , en ce que la pluie, qui remplit les réservoirs, doit être remplacée par une cause qui leur enlève une quaiitité d'eau proportionnelle au Itmps et à la surface j par exemple, par Tévaporaiion du liquide.

Si, au contraire, on trouvait pour x une valeur négative , cette valeur , prise positivement, satisferait aux équations :

syt — nxt = V, s'yt' — 7i'xl'= v'.

Ces équations correspondent à un problème qui diflère du proposé, en ce que les robinets qui versent de l'eau dans les réservoirs , doivent être remplacés par un nombre égal de causes qui en enlèvent ; par exemple, par des orifices ou par des pompes, enlevant une quantité x d'eau par unité de temps.

191. Remarques. Les remarques faites (182, 184), au sujet des valeurs négatives trouvées pour un temps ou pour une longueur, s'appliquent sans modification au cas oia les équations contiennent plus d'une inconnue.

Ajoutons qu'il y a d'autres grandeurs que les longueurs et les temps, qui peuvent être aussi comptées en deux sens opposés. Ainsi, les températures au-dessus ou au-dessous de zéro, les latitudes (géographiques ou célestes) boréales ou australes, les forces attractives ou répulsives, l'actif ou le passif d'un négo- -ciant, sont des grandeurs susceptibles d'être représentées par des nombres positifs ou négatifs.

Remarquons enfin, en terminant, qu'il n'est pas nécessaire d'introduire les nombres négatifs dans l'énoncé des problèmes ; on est libre de faire ou de ne pas faire ces conventions. Mais si l'on veut généraliser les formules, c est-à-dire si l'on veut qu'une seule et unique formule représente la solution d'un problème dans tous les caSj ces conventions sont obligatoires; il faut représenter un changement de sens par un changement de signe.

§ VI. Des solutions infinies ou indéterminées.

192. Des solutions dites infinies. Lorsque la formule, qui fournit la solution générale d'un problème, se présente sous la forme fractionnaire, il peut arriver que certaines hypothèses, faites sur les lettres qu'elle renferme, annulent son dénominateur, sans annuler son numérateur. Cette formule prend alors la

k forme ^p — t:- Nous verrons, dans la discussion générale des formules (chap. vu), que l'équation qui l'a fournie est alors impossible. Mais il n'en est pas toujours ainsi du problème qui y a conduit ; on peut seulement affirmer que la quantité, prise pour inconnue, cesse alors d'exister.

Prenons pour exemple la question suivante :

193. Problème XIV. Deux cercles, de rayons R et t, non intérieurs Vun à l'autre, sont situés dans un même plan; la distance de leurs centres est d. On demande le point où la tangente commune extérieure rencontre la droite qui joint les centres.

Désignons par x la distance qui sépare le point cherché du centre du plus petit cercle. Si l'on joint chaque centre au point de contact correspondant, on forme deux triangles semblables, qui donnent immédiatement la proportion :

i.T d + X R ., - dr r^,

11] ^-L— = -- d'où x = - . [2]

Discussion. Tant que r reste plus petit que R, la valeur de x est positive, et la formule permet de construire le point cherché. Si la valeur de r se rapproche de celle de R, celle de x augmente, puisque son numérateur croît, et que son dénominateur diminue; le point s'éloigne donc sur la ligne des centres. Comme on peut rendre la différence (R — r) assez petite, pour que la fraction [2] soit aussi grande que l'on voudra, les rayons des cercles peuvent différer assez peu, pour que le point soit aussi éloigné que l'on voudra. Enfin lorsque, à la limite, r = R, la fraction est devenue plus grande que toute grandeur assignable. Le point de rencontre s'éloigne donc indéfiniment, et les deux droites, ne se rencontrant plus, sont parallèles. On voit que, dans ce cas, l'équation { Ij pr^nd la

d + a; forme impossible : = 1 , et que la formule prend la forme singulière :

x=—] il n'y a plus alors ni équation ni formule, et le point de rencontre

n'existe plus; mais c'est précisément dans ce résultat que consiste la solution du problème.

194. Remarque. Lorsque le dénominateur d'une fraction diminue, la fraction augmente ; et elle peut augmenter indéfiniment, si le dénominateur diminue indéfiniment. D'après cela, on dit quelquefois que, le dénominateur devenant nul, la fraction devient infinie; et l'on écrit qu'elle a pour solution a; = oo . C'est là une locution incorrecte ; ta fraction dont le dénominateur est nul ne représente rien. Si les données d'un problème varient de telle manière, que le dénominateur de la valeur de l'inconnue tende vers zéro, l'inconnue elle-même augmente sans limites; mais, lorsque le dénominateur est aclueilement nul, la solution n'existe pas, et l'équation est impossible.

19o. Des solutions indéterminées. Lorsque la formule, qui donne lasolulion d'un problème, se présente sous la forme fractionnaire, il arrive parfois encore, que certaines hypothèses particulières, faites sur les lettres qu'elle renferme, annulent à la fois son n:unérateur et son dénominateur. Cette formule prend

alors la forme oc=-. Nous verrons plus loin (chap. vu), que le

système qui l'a fournie est alors, en général, indéterminé; cependant cette indétermination peut n'ôtre qu'apparente. Donnons des exemples de ces deux cas.

lOe. Problème XV, On a deux lingots; le premier contient a gramynes d'or et b grammes chargent; le second contient a' grammes d'or eth' grammes d'argent. Quel poids de chacwi de ces lingots faut-il prendre pour en former un troisième, contenant a grammes d'or et [5 grammes d'argent?

Soient x ei y les poids à prendre dans le premier et dans le second lingot.

Puisque le poids a -\-b contient a grammes d'or et b grammes d'argent, le

poids X, extrait du môme lingot, contiendra — --^ en or, — "-—■ en argent. "^ ' a-\-h ' a-\-b °

De même, le poids y, extrait du second lingot qui pèse a'-\-b', contiendra

, , ,. en or, et . , ,, en argent, a' + 6' ' a' -\-b' ^

, On aura donc les deux équations:

Si l'on résout ce système, on trouve :

{a + b){oib'—^a') " (a' -\- b') (gp ~ ha)

^~ ab'—ba' ' ^~ ab' — ba'

Discussion. Si l'on fait Thypothèse, -=- = -, les numérateurs et les dénominateurs des deux formules sont nuls ; de sorte qu'on a :

Pour interpréter ce résultat, remarquons que l'hypothèse admise a pour conséquences :

et que, si Ton remplace dans les équations [1] les coefficients des inconnues par

leurs valeurs — r-r,, — ^-r, tirées des relations [2}, les équations se réduisent

a + p a+ fi

toutes deux à l'équation unique :

Il en résulte (i«a), que le système [i] est indéterminé. Mais le problème luimême est indéterminé , et admet une infinité de soluLions. En effet, l'hypothèse admise exprime, que le rapport de Tor à l'argent est le même dans les trois

lingots; donc, quelles qae soient les quantités que l'on prenne dans chacun des deui premiers, elles formeront évidemment un alliage au même titre. Ces quantités ne seront astreintes qu'à vérifier l'équation [3] .

■i»». Problème XVI. Calculer la surface dun trapèze dont on donne les bases B et b, et la hauteur h, en la considérant comme la différence des surfaces des deux triangles que Von obtient, en prolongeant les deux côtés non parallèles jusqu'à leur rencontre.

Désignons par x Faire cherchée; et prenons pour inconnues auxiliaires les hauteurs t/ et s des deux triangles. Les sirfaces de ces triangles ayant pour expressions i By et ^ &;r, on a dahord l'équation :

a: = i(By-62). [I]

Comme les deux triangles sont semblables, les bases sont proportionnelles aux hauteurs; donc

Enfin, la hauteur h étant la différence des hauteurs y et ï, on a :

Pour éliminer les inconnues auxiliaires, on remarque que l'équation ['2] donne :

d'où, en vertu de l'équation [3] :

Bh bh

En substituant ces valeurs dans l'équation [l], on obtient enfin :

Discussion. Tant que b n'est pas égal à B, cette formule donne, pour la surface du trapèze, une valeur parfaitement déierminéc. Mais si l'on suppose Î; = B, la

formule se présente sous la forme ^ = 7:', et le problème paraît indéterminé. Cependant cette indétermination n'est qu'apparente ; car, dans ce cas, le trapèze devient un parallélogramme, d^nt la surface est égale à Bh. On peut, d'ailleurs, tirer de la fraction cette expression de la surface, si Ton r.Jiarqueque le facteur (B — &) divise (B^ — 6^), et qu'en supprimant ce facteur commun, il vient :

formu'e connue de Taiie du trapèze, laquelle devient effectivement, x=^Bh, dans le cas où 5 = B.

198. Remarque. On voit que, lorsqu'on rencontre une formule, qui, par suite d'hypothèses particulières, prend la forme

--, il ne faut pas se hâter d'affirmer que le problème, dont elle

donne la solution, est alors indéterminé. Il peut arriver que Findéterminalion ne soit qu'apparente, et qu'elle tienne, comme dans l'exemple précédent, à la présence d'un facteur commun aux deux termes, facteur qui devient nul en vertu des hypothèses admises. On doit alors, avant toute hypothèse, supprimer ce facteur commun, et faire ensuite, dans la formule ainsi simplifiée, les hypothèses convenues : on obtiendra la vraie valeur de la fraction, pour ce cas particulier.

Supposons, par exemple, qu'on ait trouvé comme solution d'un problème :

gs — 3a'' + 4a — 2 ^ ~ a^ + 3a — 4 * et que la discussion amène à faire l'hypothèse ^ azzLl. Les deux termes s'annulent, et la fraction prend la forme -. Or, les deux termes étant des polynômes

entiers en a, on sait ('ÏO) qu'ils sont divisibles par (a — 1). On effectuera donc cette division, et l'on trouvera la formule simplifiée :

formule qui, pour a =^ 1 , prend la valeur x — -.

EXERCICES

L Deux vases, de capacités v etv', contiennent chacun un mélange d'eau et de vin, dans le rapport de m à n pour le premier, et dans le rapport de m' à n' pour le second. Quelle capacité x doit-on donner à deux autres vases égaux entre eux, pour que, les remplissant à la fois, l'un dans le premier^ l'autre dans le second, et versant dans chacun d'eux ce qui a été pris dans l'autre, la proportion de l'eau au vin devienne la même dans les deux vases? Montrer, à priori , que le résultat doit être indépendant de m, n, m', n'.

On trouve l'équation :

VI {v — ^) , wi'o; n {v — ^) , ^'^

ih'{v' — x) rnx n' jv' — x) hx '

^mTÇn' m-\-n m' -\-n' m -j- n et la formule :

II. Les aiguilles des heures, des minutes et des secondes sont toutes trois sur le chiffre XII du cadran. On demande après combien de temps l'aiguille des secondes divisera en deux parties égales l'angle formé par les deux autres.

En désignant par x le nornbre de secondes écoulées, on trouve :

IIL Trois mobiles parcourent une mênae ligne droite, d'un mouvement uniforme, avec des vitesses v, v', v". Ils sont actuellement à des distances a, a', a" d'un point 0 de cette droite, dont ils s'éloignent tous les trois. On demande après combien de temps le premier sera aux | de la distance qui sépare les deux autres.

En désignant par a; le temps écoulé, on trouve :

2a'-fy-5a ^~bv-2v'—3v"'

si, après ce temps, le troisième mobile est en avant du second;

3a' ]-1a"—ba

et, au contraire.

si, après ce temps, le second mobile est en avant du troisième.

Il peut y avoir deux solutions, ou ans s^nte; il peut ne pas y en avoir du tout : on examinera les conditions de ces différents cas.

On généralisera la solution, en supposant que les mobiles ne marchent pas tous dans le même sens.

IV. Un parallélipipède rectangle, dont les arêtes sont a, h, c, étant donné, trouver le côté x d'un cube, tel que les surfaces des deux solides soient dans le même rapport que leurs volumes .

3rt^c

On trouve

ab-i- ac -^ bc'

V. Trouver une proportion, dont les quatre termes surpassent également les quatre nombres a, b, c, d.

En désignant par x le nombre qu'il faut ajouter à chacun de ceux-cij on

trouve •

hc — ad X = .

Discuter la solution, 1° lorsque &c =ad, 2° lorsque a+ d = h-\-c.

VI. n pierres sont rangées en ligne droite à d mètres de distance les unes des autres. On propose de déterminer, sur cette droite, la position d'un point X, tel qu'il y ait deux fois plus de chemin à. faire pour transporter successivement chaque pierre au point X, que pour les transporter à la place occupée par la première d'entre elles. On supposera, dans les deux cas, que Ton parte de cette première pierre.

Si l'on désigne par x la distance du point X à la première pierre, en supposant ce point au delà de la dernière, on trouve :

On généralisera, en supposant que le rapport des chemins à parcourir est m

au lieu de 2 ; on trouvera :

et Ton discutera les conditions de possibilité du problème. Si la solution est négative, est-il possible de l'interpréter?

VII. 11 faut un nombre d'hommes égal à a, ou un nombre de femmes égal à h, pour faire, en n jours, un ouvrage représenté par m. Combien faut-il adjoindre de femmes à (a — p) liommes, pour faire, en (n — p) jours, un ouvrage représenté par (rn -{-p)"^

^ , hp[ ^ . (m-\-n)a

On trouve : x = --\ 1^ — '-.

VIII. Deux horloges A et B sonnent l'heure en même temps, et l'on entend en tout dix-neuf coups. Déduire de là l'heure qu'elles marquaient, sachant que l'horloge A retarde sur l'horloge B de deux secondes, et que les coups de A se succèdent à trois secondes d'intervalle, tandis que ceux de B se suivent à quatre secondes d'intervalle. On admet enfin, que l'oreille ne perçoit qu'un seul son, lorsque l?s horloges sonnent dans la même seconde.

En désignant par x l'heure ou le nombre de coups sonnes par chaque horloge, on remarque que le nombre des coups perdus pour l'oreille est 1, aug-

mente du plus grand nombre entier contenu dans — - — ; et l'on en conclut

querr = ll.

IX. Trouver trois nombres x, y, z, en progression arithmétique, tels que le premier soit au troisième comme 5 est à 9, et que la somme des trois nombres soit égale à 63.

On trouve : x— 15, î/=21, z=27.