X. On donne la suite

a-\-b, ap-{-bq, ap^+hq"^, ap^ + bq^, ap* -f hq*, ....-,

et Ton propose de trouver deux nombres x eiy, tels que chaque terme de cette suite jiuisse s'oljtenir en muliipliant le prccédont par x, et l'antépréccdent par y, et en ajoutant les résultats.

On forme le troisième et le quatrième terme d'après cette loi, et l'on trouve:

^=p + q, y=—pq\

puis l'on prouve qu'en effet ces multiplicateurs donnent tous les termes de

la série.

XI On donne la suite :

a-\-b+ c, ap + bq + cr, ap'+ hq^ +cr'^, ap^ -{-bq^ -\- cr^....; et l'on demande de trouver trois nombres x, y, z, tels que chaque terme de celte suite s'obtienne en mullipli.mt le précédent par x, l'antéprécédent par y, et celui qui précède de trois rangs par z, et en ajoutant les résultats.

On trouve : x = p-i^q^r, y=—pq—pr--(ir, z=pqr.

XII. Un train T, dont la vitesse est r, part après un autre train T', dont la vitesse est tf; et le retard est calculé de manière qu'ils arrivent en même temps à la destination. Le train T' est obligé de ralentir de moitié sa vitesse, après avoir fait les deux tiers de la course: et il y a renconti-e des trains, a lieues avant la fin du voyage. Trouver la longueur totale r du trajet.

v' On trouve : a; = 6a— 3a - .

XIII. Pour faire un certain ouvrage, A emploie m fois autant de temps queB et C réunis; B emploie n fois autant de temps que A et G; G emploie p fois autant de temps que A et B. Trouver une relation entre m, n et p.

On trouve : — r-r -\ --r -\ r—: = 1 .

XIV. On donne des points A, B, C, D,... situés sur une ligne droite, à des

distances a, b, c, d.... d'un [ oint 0 de cette droite. Trouver, sur cette droite,

un point X tel, que sa distance x àun point quelconque M de la droite donnée

soit la moyenne des distances des points A, B, C, D,.... au point M. Montrer,

qu'à l'aide de conventions convenables, on peut résoudre le problème par une

seule formule, quelles que soient les positions des points A, B, G, D,.... à

droite ou à gauche de 0.

La formule est : a;= ■ ■ ,

n étant le nombre des points considérés : elle est indépendante de la position du point M.

XV. Deux triangles rectangles ont les côtés de l'angle droit dirigés suivant les mêmes droites, et représentés par a, h pour le premier, et par a', h' pour le second. On propose d'abaisser du point de rencontre des hypoténuses des perpendiculaires sur les côtés, de calculer leurs longueurs, et de discuter les différents cas qui peuvent se présenter.

Les formules sont, en désignant par x la parallèle aux côtés a, a', et par y la parallèle aux côtés b, h' :

— ^^Knï^ , — ^^' («—«')

^— ab' — ha" ^~ ah' — ha' '