DES INÉGALITÉS

§ I. Principes sur les inégalités considérées isolément.

199. DÉFINITION. Oq dit qu'un nombre a est plus grand qu*un nombre b, quels que soient leurs signes, lorsque la différence {a — b) est positive.

200. Corollaire : 1° Un nombre positif quelconque est plus grand qu'un nombre négatif quelconque. Ainsi :

caria différence 1 — (— 8) est (20) égale à 1 -f 8 : elle est positive.

2° Un nombre négatif est d'autant plus grand que sa valeur absolue est plus petite. Ainsi :

car la différence — 7 — (— 20) est (20) égale à + 20 — 7 : elle est positive.

3° On doit regarder zéro comme plus grand que tout nombre négatif. Ainsi :

car la différence 0 — (— 4) est (20) égale à 0 + 4; elle est positive.

De là résulte que, si l'on écrit les nombres tant positifs que négatifs de la manière suivante :

-00, —4, -3, -2, -1,0, 1,2,3, 4, co ,

un nombre quelconque, pris dans cette suite, est plus grand que tout nombre placé à sa gauche, et plus petit que tout nombi'c placé à sa droite.

Oii exprime ordinairement qu'un nombre a est positif, et qu'un nombre b est négatif, par les formules : a>0, 6<0.

291. Inégalités renfermant une inconnue. Lorsqu'une expression, qui dépend d'un nombre inconnu, doit être plus grande ou plus petite qu'une autre, cette condition, que l'on nomme

inégalîîê, permet, en général, d'assigner des limites, entre lesquelles l'inconnue doit élre ou n'être pas comprise. Nous en donnerons dans ce chapitre quelques exemples.

202. Principe!. On peut, sans altérer les conditions qu'exprime une inégalitéj augmenter ou diminuer ses deux membres d'un même nombre. En effet, l'inégalité W^b, est équivalente, par définition , à a — 6 > 0. Or quel que soit m, on a :

donc: {a-\-m) — (& + m)>0,

ou , d'après la définition :

Il résulte de là, qu'o?i peut faire passer un terme d'un membre d'une inégalité dans Vautre, en changeant son signe, comme s'il s'agissait d'une équation.

205. Principe II. On peut multiplier les deux membres d'une inégalité par un même nombre, pourvu qu'il soit positif .

En effet, Tinégalilé ft>>5 équivaut à a— 6 >0. Or, si l'on multiplie {a — b) par un facteur positif m, le produit est positif.

Donc on a: {a — 6)m>0, ou am — bm^Oj

ou , d'après la définition :

cm >> bm. [5]

On peut aussi multiplier les deux membres de Vinégalitè par un facteur négatif, mais il faut changer le sens de l'inégalité. Car si l'on a :

a>6, ou a — &>0,

le produit de {a — b) par un facteur négatif ??i sera négatif. On aura donc :

{a — b)m<^Oj ou am — 6??i«<0,

ou, enfin :

am<^bni. [61

Zles principes permettent de chasser les dénominateurs d-u]i<' irÀgaUté, comme s'il s'agissait d'une équation, quand on conn: ît Alg. B. V<' Partie. 10

le signe du multiplicateur. Les mêmes principes s'appliquent à la division des deux membres d'une inégalité par m; car la division par m revient à la multiplication par — , et les deux nombres

m et — sont toujours de même signe.

204. Principe III. Lorsque les deux membres d'une inégalité sont positifs, on peut les élever à une même puissance m""% quel que soit m. En effet, plus un nombre est grand, plus sa puissance m"'* est grande. Ainsi, 7>3 donne 7*>>3*.

Lorsque les membres ne sont pas tous deux positifs, il faut distinguer plusieurs cas.

1° Quels que soient les signes des deux membres, on peut les élever à une même puissance m"®, lorsque m est impair» Car les deux membres, après l'opération, conservent leurs signes, et par suite, le sens de leur inégalité. Par exemple,

si 7> — 13, on en conclut 7'>(— IS)^; \

si — 7>— 13, » (7)3>(l3)^ 1 ^^J

2° Mais si Ton a à élever les deux membres d'une inégalité à une même puissance de degré pair, il faut distinguer encore.

Quand les deux membres sont négatifs, V inégalité change de sens; car les deux membres deviennent positifs, après l'opération. Ainsi, de l'inégalité

on conclut successivement :

13 > 7, 13*>7S (— i3)*>(— 7/, et, par suite, (— 7)*<(— 13)*. [8]

Si les deux membres sont de signes différents, on ne peut plus donner de règle. L'inégalité peut changer ou ne pas changer de sens, ou mctno se transformer en égalité. Ainsi l'on a :

7>— 3 et 7*>(— 3)*, j

7>-13 et 7*<(— 13)\[ [9]

7>— 7 et 7^=(— ly. \

205. Principe IV. 1° Quels que soient les signes des deux membres

ffune inègalxté, on "peut en extraire une racine d'indice impair; car les deux racines ont le même signe que les deux nombres. Ainsi :

27> 8 donne ^ïî^-'^S, ou 3> 2, ) 27>— 8 » ^27>^^, ou 3> — 2, > [10]

— 8>-27 « ^Il8>v'^^^7 OU— 2>— 3. )

2*» Si Vindice est pair, il faut, pour que les racines existent, que les deux membres soient positifs (96). Et alors, chaque racine a deux valeurs égales et de signes contraires. Dans ce cas, Vinégalité conservera son sens ou en changera, selon que Von considérera les valeurs positives ou les valeurs négatives des racines. Ainsi :

rinégaiiié 36>25,

donne: [ V^> ^5 "" '> '' ] [11]

-v/36< — v/-25 OU — 6< — 5.

Mais, si Von prend des signes différents pour les deux racines, le terme négatif est toujours le plus petit. Ainsi

l'inégalité, 36>25,

(v/36> — v/25, OU 6>— 5, ) .^ .

donne: r — — [12]

(v^25> — v/36> OU 5> — 6. )

§ II. Principss sur les inégalités simultanées.

20G. Principe V. On peut additionner membre à membre deux inégalités de même sens : la nouvelle inégalité a le même sens que chacune d'elles.

Soient, en effet, les deux inégalités :

elles équivalent aux suivantes :

a-b^Q, c — d>0; or la somme de deux quantités positives est positive; donc on a:

a— 6 + c — rf>»0, ou a-t-c>6 + d. [13]

Mais celle nouvelle inégalité ne peut pas, comme lorsqu'il

s'agit d'équations, remplacer l'une des deux proposées. En d'autres termes, les deux systèmes,

ne sont pas équivalents. Le second est une conséquence du pre. mier, mais le premier n'est pas une conséquence du second.

Si les deux inégalités sont de sens contraires, il n'y a pas de règle à donner. On a, en effet :

^^ ^' I et 7 + 8<3 + 13;

\<ll: ] '' 7 + 8>3+10.

l5; j et 7 + 8 = 3 + 12;

*i07. Principe VI. Oa peut soustraire membre à membre cVune inégalité une autre inégalité de sens contraire : la nouvelle inégalité subsiste dans le sens de la première.

Soient, en effet, les deux inégalités :

a^bj c<id

elles équivalent aux suivantes :

a'^bf d'^c;

et, par suite (20G), elles donnent

a + f/>6 + c, ou (202) a — c>b — d. [14]

Cette nouvelle inégalité ne peut pas remplacer l'une des deux proposées.

On ne peut pas soustraire une inégalité d'une autre, quand elles sont de môme sens (20G).

208. Principe VIL On peut multiplier membre à membre deux iiiê'jalitcs de mcmescns, quand tous les termes sont positifs : finéga' lité nouvelle est de même sens que chacune d'elles.

En ciïel, soient: a^b, C^^d;

puisque c ei b sont positifs, on a, en multipliant la première par c, et la seconde par b (205) :

ac^hc, bc'^bd,

et, par suite, Qu'abc!. [15]

Si les quatre termes sont négatifs j V inégalité nouvelle est de sens contraire à celui des deux proposées. Car en multipliant la première par c et la seconde par &, on a, puisque ces facteurs sont négatifs :

ac<ibc, bc<Cbd,

et, par suite, ac<^bd. [16]

La nouvelle inégalité [15] ou [16] me peut pas remplacer une des proposées.

On ne saurait donner de règle générale, quand les termes ne sont pas tous positifs ou tous négalifs. On ne peut rien dire non plus, quand les inégalités sont de sens contraires.

209. Principe YIII. On peut diviser membre à membre une inégalité par une autre de sens contraire, quand tous les termes sont positifs : la nouvelle inégalité a le même sens qxie la première.

Soient, en effet : a>&, c<c/;

on peut écrire : a'>b, d^c.

et, par suite (208), ad^bc;

d'où l'on lire, en divisant les deux membres par cd (205) :

Si les quatre termes sont négatifs, V inégalité nouvelle a le sens de la seconde : car, en faisant la multiplication, on a (208) :

ad<^bc;

et, en divisant par cd, qui est positif, il vient :

c^d On ne peut pas donner de règle générale dans les autres c

§ III. Des inégalités du premier degré à une inconnue.

210. RÉSOLUTION DE l'inégalité. Une inégalité à une inconnue est dite du premier degré, lorsqu'elle peut se ramener à la forme

ax-\-b^a'x-\-b\

a, h, a', b\ désignant des nombres donnés qui peuvent être positifs ou négatifs.

Pour résoudre cette inégalité, on fait passer des termes contenant l'inconnue d'un côté, les termes connus de Tautre (202) ; et l'on a :

Puis on distingue deux cas :

, 1° Si {a^a') est positif, on a, en divisant (205) par {a — a) :

2° Si (a — a') est négatif, on a, au contraire (205) :

Ainsi, pour satisfaire à 'l'inégalité , il suffit de prendre x supérieur ou inférieur à une certaine limite. On peut remarquer que celle limite est précisément la valeur de x, qui rendrait les deux memjjres égaux.

311. F^ROBLÈHE. Nous résoudrons, comme application^ le problème suivant : Deux points ketB sont situés à une distance 2c; on sait qu'un point M est tel que MA 4--MB = 2a, a étant une longueur donnée, plus grande que c. On demande entre quelles limites peuvent varier AM et BM.

Supposons AM > BM. Posons : AM = x, BM = y. On a d'abord , d'après l'énoncé :

x+y=:2a. [IJ

De plus, pour que le triangle AMB soit possible, il faut que chaque côté soît plus petit que la somme des deux autres, c'est-à-dire que Ton ait :

Or la première de ces inégalités est évidente, d'après l'équation [1] ; la seconde est évidente, puisque y est plus peut que x. Reste donc la troisième ,

Si l'on remplace y par sa valeur {2a — x), cette inégalité devient :

X < 2c + 2a — rr ; d'où X < a+c. [3]

Mais y, qui est égal à (2a - x), est d'autant plus grand que x est plus petit. Donc y doit être plus grand que [2a — (a + c)], c'est-à-dire que {a^c). Ainsi :

Telles sont les limites chercliées.

EXERCICES

I. Démontrer que la moyenne arithmétique entre deux nomÎDres positifs inégaux est plus grande que leur moyenne proportionnelle.

On s'appuie sur l'inégalité, (a — b)' > 0.

II. Étant donnés deux nombres a, b, positifs, a > h, déduire de l'inégalité,

rr 4- a x 4- h

les limites entre lesquelles la valeur de x doit être comprise. Les radicaux sont pris avec le signe +.

On trouve que x doit être négatif, ou plus grand que }/ab.

III . Démontrer que * ^ " "^ '' '^\/abcd est comprise entre la plus grande et la plus

petite des quatre expressions y/a, \/b , ^c, \/d.

On démontre cette \ ropriété pour les logarithmes de ces expressions ; et l'on en tire la conséquence pour les expressions elles-mêmes.