DÉTERMINATION, A PRIORI, DES SIGNES DES RACINES. LeS
relations, qui donnent la somme et le produit des deux racines (2o5), permettent de déterminer leurs signes, sans résoudre Téquation.
On voit, en effet, d'après le signe de leur produit -, si les
racines sont da même signe ou de signes contraires. Dans le
premier cas, le signe de la somme apprendra si elles
sont toutes deux positives, ou toutes deux négatives. Dans le second cas, l'une est positive et l'autre négative; et le signe
de fait connaître le signe de celle dont la valeur absolue
est la plus grande. Ainsi les racines de l'équalion
sont de signes contraires, car leur produit est — 4; et la plus grande est positive, car leur somme est positive et égale à 3.
£o8. Remarque. Avant d' appliquer les règles 'précédentes, il faut s'assurer que les racines sont réelles. Si l'on considère, par exemple, l'équation
on serait conduit (2o5) à regarder les racines comme toutes deux positives; car leur produit 10 est positif, ainsi que leur somme 3. Mais l'expression (b^ — kac) étant ici égale à — 31, les racines sont imaginaires.
239. Problème. Le théorème de Tarticle 25o, dont on fait, du reste, un usage continuel en analyse, permet de résoudre immédiatement la question suivante : former une équation du second degré, dont les racines soient des nombres donnés a et p. L'équalion demandée est évidemment :
{x — ^){x—^) = 0, ou iip2— (a-f p)ir-|-a?=0; .•
et l'on aperçoit d'alleurs, à priori^ que le premier membre {x — a) {x — 15) s'annule pour j? = a et pour a; = p. On voit aussi
que le coefficient de x est ôga\ h la somme des racines, prises en signe contraire, et que le terme tout connu est égal au produit des racines.
Exemples ; 1° Quelle est Véquation du second degré, dont les racines sont:
La somme 2 + v'3 + 2 — ^3*= 4,
etieproduit (2 + \/3) (2— y/s) = 4— 3=1;
l'équation demandée est, par conséquent, x^ — 4x + 1 =0.
2° L'équation du second degré, dont les roicines sont (a+6) et {a— h), est î
§ IV. Examen d'un cas particulier remarquable.
SCO. Cas ou a = 0. Lorsque, dans l'équation ax^ + bx-]-c=:0, on suppose que a prend la valeur zéro, les formules
deviennent :
c'est-à-dire, si b est positif, et, si b est négatif,
X = or' = - ;
Ainsi Tune des racines se présente sous la forme indéterminée, et l'autre sous la forme infinie. D'un autre côté, l'équation proposée devient :
hx-\-c = 0\
elle est alors du premier degré, et elle n'admet qu'une solution :
Les formules générales semblent donc, dans ce cas, en défaut. Remarquons d'abord que, si réellement il en était ainsi, il
n'en faudrait rien conclure contre les raisonnements qui y ont conduit; car ces raisonnements supposent expressément (259), que a ne soit pas nul.
Cependant les valeurs de x' et de cd' satisfaisant à l'équation proposée, quel que soit a, lorsque a tend vers zéro, l'une d'elles doit approcher de la solution de l'équation
hx-\-c = 0.
Et c'est évidemment, comme nous allons le vérifier, celle qui
se présente sous la forme -. Considérons, en effet, pour fixer
les idées, le cas où h est positif. On a :
la
Multiplions les deux termes de cette fraction par l'expression — b — sjb'^—kac, qui ne devient pas nulle pour a = 0; nous aurons :
„ {—h-\' sjh'- — kac){—h — \,'h^—kac), ■
en effectuant la multiplication indiquée au numérateur, où l'on remarque que l'on a le produit de la somme de deux nombres
( — h-\-\Jb^- — kac) par leur différence ( — b — \/b^ — 4ac), il vient:
~~2a{—b—\/b^—kac)~2a{~'b — \/b'^ — kac) 2c
— b—s/b'—kac'
et, sous cette forme, il est évident que, a tendant vers zéro, x'^
s'approche de la valeur — — ou — -r*
Quant à la valeur de x\ elle augmente évidemment sans limite quand a diminue, puisque le numérateur tend vers — 2ô, tandis que le dénominateur tend vers zéro.
§ V. Résolution de l'équation ax^ + hx+c = 0, quand a est très-petit. 2GI. Grandeur des racines. Lorsque a est très-petit, par rap^
port à h et à c, Vune des racines diffère peu de — r , et Vautre est
extrêmement grande. Cette proposition résulte évidemment de
ce que, lorsque a tend vers zéro, Tune tend vers — -, et 1 autre
croît indéfiniment (2G0).
On peut s'en convaincre, en mettant Téquation proposée sous la forme
En effet, comme le second membre est très-petit, on satisfera à celte équation, en donnant à x une valeur convenable, qui rendra très-petit l'un des facteurs du premier, sans rendre Fautre très-grand. Pour cela, il suffira de choisir pour x une valeur
très-grande; car alors le facteur- sera très-petit, et le facteur
\b-\--j différera peu de 6; ou bien, on prendra pour a; une va-
leur voisine de — - ; car cette valeur rendra très-petit le second
facteur, tandis que le premier différera peu de — .
