DÉSAVANTAGE DES FORMULES ORDINAIRES. La ■ formulc

générale, qui donne les racines de Téquation ax^-{-bx-\-c= 0,

se prête mal aux calculs numériques, lorsque le coefficient a a une valeur très-petite par rapport à celles de b et de c. On comprend, en effet, qu'après avoir calculé approximativement \/b^ — 4ac, si l'on divise le résultat par 2a, on divisera en même temps l'erreur, qui se trouvera par là considérablement augmentée. Il est donc convenable de modifier, dans ce cas, la formule qui donne les racines.

265. Calcul de la plus petite racine. Nous nous occuperons seulement de la racine qui diffère peu de — -• L'autre se

trouvera ensuite sans peine, puisque la somme des deux est connue et égale à — -.

De réquation ax'^-\-hx-\-c = 0,

on déduit: x^= — r-» L^J

Or a est, par hypothèse, très-petit ; a; et 5 ne sont ni très- grands

ni très-petits: donc la valeur de -j^ est elle-même très-petite ;

et nous pouvons la négliger, et écrire, comme première approximation :

L'erreur commise, en adoptant celte valeur, est — ; elle contient en facteur la première puissance de a; et l'on dit, pour cette raison, qu'elle est petite du premier ordre. Si nous désignons par ai l'erreur commise, quand on prend

rr=— -, nous aurons exactement :

En remet! airt cette valeur dans le second membre de l'équation [1], il vient :

si nous négligeons, dans le second membre, le troisième et le quatrième terme, qui contiennent en facteurs aai etaai*, il viendra, comme seconde approximation :

C ac^ rtT

ai étant du premier ordre par rapport à a, aai et aai* sont respectivement du second et du troisième ordre, c'est-à-dire qu'ils contiennent a* et a^ en facteur. Notre seconde approximation,

fournie par la formule [5], ne laisse donc subsister que des erreurs du second ordre; et si nous posons, par conséquent :

«8 sera du second ordre, c'est-à-dire que son expression contiendra a^ en facteur.

Si nous remettons dans le second membre de la formule [1] la valeur de x fournie par la formule [6], il vient :

a / c ac^ "^ ^ b

ou, en développant,

c ac^ 2aV a^c'

& . ^ afc , ac\ m^

Or aa étant du seco7id ordre (c'est-à-dire contenant a^ en fac-

teur), (x^a et ~- seront du troisième et du cinquième ordre.

Si donc nous négligeons les termes qui les contiennent, ainsi

que -77-, qui est du troisième ordre, et qu'il n'y a dès lors

aucune raison pour conserver, il vient, comme troisième approxi-

matioUy

c ad* 2a^c^ .

et Terreur commise n'est plus que du troisième ordre. Il serait facile de continuer ainsi indéfiniment.