LIVRE

En effet, si Ton suppose x' <ix", toute valeur donnée à rc et comprise entre x' et x", rend {x — x') positif et {x — x") négatif: elle rend donc négatif le produit {x — x'){x — x")\ elle donne par suite, au produit a{x — x'){x — a/') un signe contraire à celui de a, ou, ce qui est la même chose, à celui de ax^. Si, au contraire, la valeur attribuée à x est plus petite que x'^^ ou plus grande que x", les facteurs {x — x'), {x — x") sont tous deux négatifs ou tous deux positifs; leur produit est positif, et le trinome a(x— x') {x — x") a le même signe que a.

267. THéoRÈME IL Lorsque les racines du trinôme sont réelles et égales, le trinôme est toujours de même signe que son premier terme, quelle que soit la valeur attribuée à x, à V exception de celle qui le rend nul.

En effet, on sait (247) que, dans ce cas, le trinôme prend la forme :

Or le carré est toujours positif, quelle que soit la valeur de x\ donc le trinôme a toujours le signe de a. Cependant il faut faire

exception pour la valeur x=^ — — , qui annule le trinôme,

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208 Théorème III. Lorsque Us racines du trinôme sont imaginaires, la valeur du trinôme a toujours, quel que soit x, le signe de son premier terme.

ùdv on a vu (248) que, dans ce cas, le trinôme est le produit de a par la somme des carrés de deux nombres réels, dont l'un n'est jamais nul. Celte somme étant toujours positive, le produit est nécessairement de même signe que a.

263. Remarque. Les trois théorèmes précédents peuvent se renfermer sous un seul énoncé: Le trinôme ax'+bx-|-c est de même signe que son premier terme, excepté lorsque la valeur attribiLce à X est comprise entre les racines.

On sous-enlend alors que, dans le cas des racines imaginaires, X ne pouvant jamais être compris entre elles, le trinôme a toujours le signe de son premier terme.