CHAPITRE II

DES ÉQUATIONS A UNE INCONNUE, QUI SE RAMÈNENT A CELLES DU SECOND DEGRÉ.

§ I. Des équations bicarrées.

272. RÉSOLUTION DE l'équation bicarrée. Une équation à une inconnue est dite bicarrée, lorsqu'elle ne contient que le carré et la quatrième puissance de l'inconnue. Elle peut toujours être ramenée à la forme,

ax' + bx^ + c=zO. [1]

Si l'on prend x^ pour inconnue, celte équation devient du second degré. Car en posant : x"^ = z, on a : a;* = js' ; et l'équalion [1] devient :

az^'\-bz -}-c = 0.

On tire de là;

— b±:s/b^—kac.

comme x est la racine carrée de ;2r , on a :

,4 /—bzhsJb-' — kac ^ = ^V Ta [21 •

Ainsi X admet, en général, quatre valeurs, égales deux à deux et de signes contraires.

275. Discussion des formules. 1° Si Ton a : V^ — 4ac>0, les deux valeurs de z sont réelles; elles peuvent, d'ailleurs (246), cire toutes deux positives, ou toutes deux négatives, ou encore l'une positive et l'autre négative. Dans le premier cas, les quatre

valeurs de x sont réelles ; dans le second, elles sont toutes les quatre imaginaires; dans le troisième, deux d'entre elles sont réelles, et les deux autres sont imaginaires,

2« Si l'on a : b^ — 4ac = 0, les valeurs de z sont réelles et égales; par suite, les valeurs de x sont égales deux à deux : elles sont réelles, si b et a. sont de signes contraires, et imaginaires, si h et a sont de même signe.

3° Si l'on a : 6'— 4ac<0, les valeurs de z sont imaginaires; et, par conséquent, les quatre valeurs de x sont imaginaires.

274. Transformation des expressions de la forme \a-\-\/b. La formule [2], qui résout Téquation bicarrée, contient deux radicaux superposés ; et cette forme n'est pas avantageuse, en général, quand il s'agit de calculer numériquement les racines. Il n'est donc pas inutile de chercher, à quelles conditions il sera possible de transformer une expression de la forme S^a-\-\/b en une somme de deux radicaux simples.

Posons l'équation :

et essayons de la résoudre par des valeurs rationnelles de x et de ij; c'est le seul cas, où il y ait avantage à opérer la transformation. Nous supposerons, pour éviter toute difficulté, que les quatre radicaux ont le signe +; il nous sera permis alors (12G) d'élever au carrelés deux membres de l'équation [1]; et nous aurons l'équation équivalente :

a+\Jb=x+y-\-2\/xy', ou {a—x—y)-{-\Jb=.2}Jxîf, [2]

Si nous élevons encore au carré, nous aurons :

♦ {a—x-yf-\-'2.{a—x — y)\J~b-\-b = kxy,

Or le second membre est commensurable, par hypothèse ; il en est de même des termes {a — x — yf et b. Il faut donc que 2(a — x—y)\Jl) soit aussi commensurable; et, comm,e V6 ne l'est pas, il faut que {a—x—y) soit nul. On doit donc avoir :

x-\-y=^a eî, par suite: kxy = b [3]

Il résulte de là, que a? et y ne peuvent être que les racines (256) de l'équation :

^1— az + | = 0. [4]

Ainsi, on doit avoir, par exemple :

Mais ces valeurs ne sont commensurables que dans le cas où {a'— h) est un carré parfait. Donc, si cette condition n'est pas remplie, la transformation n'est pas possible. Si, au contraire, (a^—b) est un carré c^ xety ont des valeurs commensurables :

et, ces valeurs vérifiant l'équation [2], nous avons la formule de transformation :

Faisons remarquer, d'ailleurs, que, quel que soit {a*—b), la formule :

est vraie, puisqu en l'élevant au carré, on arrive à une identité ; mais elle n'offre aucun avantage, quand (a^ — b) n'est pas un carré, puisqu'alors on substitue à un radical une somme de deux radicaux de même forme.