DES ÉQUATIONS A PLUSIEURS INCONÎVUES

§ I. Des équations du second degré à deux inconnues.

280. Forme générale de l'équation du second degré à deux INCONNUES. Une équation du second degré, à deux inconnues a? et y, ramenée à la forme entière, ne peut renfermer que six es-

pèces de termes, savoir : des termes en a?*, des termes en xy^ des termes en 1/^ puis des termes en y, des termes en x, et des termes indépendants. L'équation du second degré peut donc toujours se ramener à la forme,

kx^+Bxy+Cy^+Dx+¥,y+¥=0.

281. RÉSOLUTION DE DEUX ÉQUATIONS DONT l'uNE EST DU PRE- MIER DEGRÉ. La résolution des équations simultanées est une des questions les plus compliquées de Talgèbre. Nous n'avons pas à en aborder ici la théorie générale : nous nous bornerons à traiter quelques cas fort simples.

On peut toujours résoudre deux équations à deux inconnues, Vune du premier et Vautre du second degré. Soit, en efïet, le système :

kx'+Bxy+Gy''+J)x-{-Ey+¥=0, | [1]

ax-\-by=c, ) [2]

On tire de l'équation [2] :

c — ax

substituant cette valeur dans l'équation [1], qn obtient une équation du second degré en x :

{kb^—Bab + Ca^)x'+{Bbc-'2Cac+Bb^—Eab)x

+ Gc« + E&c+F62 = 0, [3]

laquelle fournit deux valeurs pour cette inconnue; et cbacime de ces valeurs, mise à la place de x, dans l'équation [2], donne deux valeurs correspondantes pour y.

Le système proposé admet donc deux systèmes de solutions. Si les deux valeurs de x sont réelles, les deux systèmes de solutions sont réels : ils sont imaginaires, si les valeurs de x sont imaginaires.

282. Cas de deux équations du second degré. Lorsque les équations à deux inconnues sont toutes deux du second degré j V élimination de Vune des inconnues conduit, en général, à une équation complète du quatrième degré.

En effet, soit le système :

Ax^ + Bxy + Cy^ +T)x + Ey + ¥ = 0, ) [1]

AV + B'a7î/+Gy +D'a; + EV + F'=0. ) [2]

Pour éliminer y, on pourrait tirer sa valeur de l'une des équations, et la substituer dans l'autre : mais on compliquerait ainsi Téquation finale de radicaux, qu'il faudrait ensuite faire disparaître. Il est plus simple d'éliminer d'abord ^', en multipliant l'équation [l]par G' et l'équation [2] par G, et en soustrayant Tun des résultats de l'autre ; on a ainsi :

(AG'— GA>^ + (BG'— CB>î/ + (DG'— CD> + (EG'~GE')î/