FG'— CF
ou, en représentant chaque coefficient par une lettre,
ax^+bxy + cx + dy-\-e = 0; [3]
et cette équation [3] peut remplacer (139) l'une des deux équations proposées.
On tire alors de l'équation [3] la valeur de y :
ax^-\-cx-\-e
^" bx+cl '
et on la substitue dans l'équation [l], qui devient :
2 Bx{ax--\-cx-\-e) . C{ax^-\-cx-\-ey -^^"" bx-^d "^ {bx + df
Or on voit aisément que, si Ton chasse les dénominateurs, en muUipliant les deux membres par (6a? + d)^ cette équation sera du quatrième degré. Gomme elle contiendra, en général, des termes du troisième degré et des termes du premier degré, il ne sera pas possible de la résoudre par les procédés ordinaires de l'Algèbre élémentaire.
Ainsi, le système de deux équations du second degré à deux inconnues ne peut être résolu, en général, par les méthodes connues jusqu'ici. Mais on rencontre parfois des systèmes simples, qui peuvent se résoudre à l'aide de certains artifices particuliers, que nous allons faire connaître.
283. RÉSOLUTION DE QUELQUES SYSTÈMES SIMPLES. 1° Soît le Système:
xy
On reconnaît immédiatement (256) que x et ij sont les racines de l'équation,
donc y=: ^— . [2]
Pour que les racines soit réelles^ il faudra que l'on ait ^
2° Soit le système
On ramène ce système au précédent, en posant y = — v ; car on a alors ', x-\-v=^a, XV = — &';
a; a±:\Ja- + Uk^
Ainsi l'on a :
et, par suite, ^— ^
a+ yJa^^W-
—yja"^ -\-kh^
a + sla'^ + kb'
\ ) |2] ou " } [3J
—a+\]a?-[-kl
Il y a donc deux systèmes de solutions, qui sont toujours réelles.
3° Soit le système :
x-\-y =a, x^+ ij^=h\
[Il
Si l'on élève au carré les deux membres de la première équation, puis qu'on en retranche les deux membres delà seconde, on a •
2xy= a^—b\
On connaît donc la somme et le produit des inconnues, qui sont, par suite,, racines de l'équation :
On a donc : ^^ = "^ . [2]
Si l'on a : 25' — a' > 0, les valeurs de x et de y sont réelles; elles sont imaginaires, si l'on a : th^—a^ < 0.
4° Soit le système :
Si l'on double les deux membres de la seconde équation, puis qu'on l'ajoute à la
première, et qu'on l'en retranche successivement, on remplace le système proposé par le système équivalent (139) :
On tire de là :
Par conséquent, en ajoutant et en retranchant membre à membre, puis en divisant par 2, on a
Remarque. Il semble qu'il y ait là huit systèmes de solutions, qu'on obtiendrait en combinant les signes des radicaux de toutes les manières possibles. Mais on doit faire observer que les équations [3] forment seulement quatre systèmes; savoir, en posant i/a^ + 2b^=B., et \Ja'—2h^='R' :
a;4-V=R, ) x-\-y=—R,i xi-y= R, i x + y^—R,! x — y=:i'R',i a;— y= R', » x—y — — R'J x— y=— R'. *
Déplus, si l'on permute x et y, les équations [1] ne changent pas; le premier et le troisième système sont équivalents; il en est de même du second et du quatrième. Il n'y a donc, en réalité, que deux systèmes de solutions.
On voit d'ailleurs, que les solutions seront réelles, si l'on a : à^>1b^; et imaginaires, si l'on a : a' < 2&'.
5° Soit le système :
a;2 — iy-=:a^
xy =b^ On ramène ce système à celui du seeond cas, en l'écrivant ainsi
fl]
x^-y^=za\ x'-y^ =bK
Et l'on en tire les valeurs de x^ et de y^, puis celles de a; et de y
^^^^a' + v/a. + W 1 .=±y/îl
yja' + 45^
/ f [3] ou > 1 } [41
Mais le système [2] est plus général que le système [1], parce qu'on a élevé au carré les deux membres de la seconde équation [1]. On doit donc combiner les valeurs de x et de y, de manière que leur produit soit égal à 5' : et cela exige que l'on associe les valeurs qui ont le même signe.
Il y a donc quatre systèmes de solutions : les deux premiers sont réels, et les deux autres imaginaires.
§ II. Des équations du second degré à plus de deux inconnues. 28'!:. Exemples. 1° Soit le système :
xy = cx. /
Si l'on élève au carré les deux membres de la première équation, après avoir fait passer z dans le second membre, on a :
et, si l'on substitue à a;^ + 2/^ etè.xy leurs valeurs tirées des deux autres^ il vient :
équation du second degré en z, d'où l'on tire :
a^cdz\J{a+cy-2{a'-h') % — -^ . [2J
Connaissant jï, on tirera la somme a; + y de la première équation, et le produit xy de la troisième; et le calcul s'achèvera, comme au n° 383 (1°). 2° Soit encore le système :
Si l'on retranche la seconde équation de la première, et la troisième de la deuxième, on a :
(y-jî)(a; + y + z)=9,(
d'où l'on conclut : y — ;i=x—y, ou a; + 5=2y;. [2]
et, par suite, {x — y)y=3. \^\
On tire de cette dernière : x=-4-y.
et, substituant cette valeur dans la première des équations proposées, il vient :
ou 3y«— 28y- + 9=0,
équation bicarrée, qui donne :
y=±3, y=±JV3.
Par suite, «=±4, a: = ±yv/3,
et ;2=±2, ^r-r|i^v'3.
§ III. Des équations de degré supérieur au second. 885, EXEMPLES. 1° Soit le système :
i 4. 1 - 5 [IJ
En chassant les dénominateurs de la seconde équation, on peut écrire ainsi le
système :
xy{x-{-y) = 20, 1 eix + y) = hxy. ]
Si donc on considère ary et x + y comme deux inconnues auxiliaires u et v, on aura :
Mt;=30.
La seconde équation donne v= -u; en substituant cette valeur dans la
première, on obtient :
delà: m=± 6, et r=i±5.
Il faut adopter le même signe pour la valeur de u et pour celle de v, puisque
Si nous adoptons d'abord les valeurs u^6, v=ôj nous avons :
x-\-y = D, xy = e;
d'où l'on déduit, pour x et pour y, les valeurs 2 et 3.
Si nous adoptons m = — 6, v=— 5, nous avons :
x + y=—b, - xy^-6;
d'où l'on déduit pour a; et y les valeurs— 6 et 1. 2° Soit encore le système :
^ I 4 + y 8 + 4y Hy'
iiy^—xy=x.
La première équation devient, si l'on chasse les dénominateurs : 4x' + (4 + y)ya;2 = {8 + 4y)a:y' + l2y^i cl on peut récrire, en ajoutant 4y* aux deux membres,
a^'(2+y)'— 4xyH2 + y) +4y< = 16y*.
Alg. B. I" Partie. , ♦ U
2t0 ^ UVRE III.
Or ie premier membre est le carré de x{2 + y) — 2y^ ; cette équation peut donc s'écrire :
ce qui équivaut à ^(2 + y) —2if=±:^y^. fZf
Nous pouvons donc, au système proposé, substituer les deux suivants :
r.. \a;(2 + y)-2y^=4y^ ar(2 + y) -2y' = ~4y% ( .
L^J ) 4y2-a;y=a;. iiy^—xy=x. \ '-^-'
Nous résoudrons, d'ailleurs, sans difSculté ces deux systèmes. En: effiet, la seconde des équations [3], résolue par rapport à a;, devient : »
et cette valeur, substituée dans la première, donne :
''y'{l^)-^y'=^' °^ 2yMl-y)=0; d'où l'on conclut : y = 0, et y = l,
et, par suite, a;=0, et x=2.
On trouvera de même, pour les solutions du système [4] :
î^=0'! et '"~^'
Ainsi les solutions du système proposé sont :
3° Soit, enfin, le système :
LU
On peut, en groupant les termes, l'écrire ainsi :
et, en divisant la seconde équation par la première, on a :
équation qui peut remplacer l'une des précédentes. Si l'on désigne le produit xy par u, et la somme a; + y par v, le système devient :
Si l'on élimine v entre ces deux équations, on a :
36^^ 36 ^"^-""' équation trinôme, d'où l'on tire :
^=36± V^36^+ 13X36; et de là : u = —6, et u = 6y\T.
Par suite, v=zl, et ^ = ^132.
Ainsi le premier système de solution est fourni par l'équation :
^-— jï— 6=0; d'où l'on conclut : x = 3, t/=— 2;
et le second système est fourni par l'équation :
s2— î/iF;ï+6t/Î3"=0 ; d'où l'on conclut :
^132+ y/- 11 '^13 yi3'-v/-llv/l3
EXERCICES
