d — ax — hyY et par suite, «' + !/'+( -^1 =în

ou (a2 + c-)j;5 + 2a&xy + (^-+c2)j/2 2adx— 2bdy+(f— c2m = 0. [2]

En résolvant l'équation [2] par rapport à y, on trouve^ après quelques réductions : h [d — ax) d= f y — (a^ -f h- + c^) J^ + 2 adx— d- + [b- + c'yin ^^

Comme le coefficient de x-, dan; le trinôme placé sous le radical, est négatif, il faut choisir la valeur de m, de telle sorte que les racines de ce trinôme soient réelles; ce qui exige que l'on ait ;

a^d^ + ia^ + b' + c") ( — cP4- {b^-\-c^]m)> C,

ou — {¥ + c')d'-{-{a^ + h^ + c^] {h- + c'] m > 0,

ou, en divisant par (6^4- c^), et transposant :

Si donc on peut donner à m la valeur

254 LIVRE IIL

ce sera le minimum cherché. Or, pour celxe valeur de m, le trinôme, placé sous le radical, devient :

Par suite , la valeur [3] de y s'écrit :

Elle n'est réelle que si l'on pose :

ad

et elle devient alors y=: ~ — rr— — :.

Par suite : % =

Ces valeurs sont admissibles; et, par conséquent, ce sont celles qui rendent minimum l'expression x^-\-y^-\- z^.

EXERCICES

I. Parmi tous les carrés que l'on peut inscrire dans un carré donné, de manière que chaque côté contienne un sommet, quel est le plus petit ?

On trouve le carré qui a pour sommets les milieux des côtés du carré donné.

II. Inscrire dans un cercîe, de rayon R, le triangle maximum.

On voit aisément que l'on n'a à comparer entre eux que les triangles isocèles; •et, en appliquant le théorème (315), on trouve, comme maximum, le triangle équilatéral.

III. On suppose qu'un triangle isocèle, inscrit dans un cercle, de rayon R, tourne autour de sa base : on demande le maximum du volume décrit.

On trouve, en appliquant le théorème (315), que la hauteur du triangle tour-

nant doit être égale a •—•. Le volume maximum est —

o ol

IV. Parmi tous les cônes droits de même volume ^ ttû^ quel est celui dont la

surface latérale est minimum?

On applique le théorème (317); et l'on trouve pour la hauteur, î/ = a^'2, et

pour le rayon de base, ic'^-^p..

V. Parmi tous les cônes droits de même surface latérale tc a', quel est celui dont le volume est maximum?

On applique le théorème (315); et l'on trouve que le rayon de base xz=^ —, V3

et que la hauteur y == a i/ -p. '

VI. Parmi les parallélipipèdes rectangles de même surface, quel est celui qui a le plus grand volume:, et parmi ceux de même volume, quel est celui dont la surface est minimum?

Le cube (application des théorèmes 313 et 316).

VII. Quelle est la zone sphérique, à une base, qui contient le plus grand volume parmi celles qui ont même. surface tzo?; et quelle est la zone de plus petite surface, parmi celles qui contiennent le même voluma ira^?

On applique le théorème (315) ; et Ton trouve que la hauteur et le rayon de

base de la zone de volume maximum, sont, l'un et l'autre, égaux à -— : le seg-

V2 ment maximum est donc un hémisphère.

On trouve aussi un hémisphère pour le minimum (31!?).

VIII. Parmi tous les cylindres de même volume V, quel est celui qui est inscrit dans la plus petite sphère?

En s'appuyant sur les formules du n" 319, et sur la remarque (318), on

trouve que le rayon de la sphère minimum est égal à y —r — • On en conclut,

7T" "" Vfv

pour le rayon de base du cylindre, r = i / — —, et, pour la hauteur, h=\/ — ■.

V 7vv'2 V "^

Atur^i - j]; IX- On donne une feuille de carton carrée ABCD dont le

côté est a, aux quatre coins de laquelle on supprime les carrés

égaux qui sont ombrés dans la figure ei-jointe. Déterminer le

côté de ces carrés, par la condition que la boîte, qui aurait pour

^ fond mnpq et pour faces latérales les rectangles restants qui ont

tous même hauteur, ait un volume maximum.

On trouve que le côté du carré ombré est -, et le volume maximum — — .

X. On marque sur une droite des points équidistants , que Ton numérote 1 , 2, 3,.. -n. Trouver, sur la droite, un point tel, que la somme des carrés de ses distances aux points donnés, multipliés par le numéro correspondant, soit un minimum.

Pour résoudre la question, il faut savoir que la somme des n premiers nom-

. , , 11(11 + ]) , , , ,, n(n 4-1) (2n + l) bres est égale à -^ — -, la somme de leurs carres a -^ '-^ , et la

^2 (n 4-1)2 somme de leurs cubes à — i-— — —. En désignant par a la distance de deux

points consécutifs, et par x la distance du point cherché au premier point, on exprime en x la somme indiquée, on applique la méthode (311), et l'on

trouve x=^-{n—\)a.

XI. Même question, en supposant que les points soient numérotés 1, 3, 6f.

lU,... n • ,

La même méthode conduit à x=j{n—l)a.

256 LIVRE m.

XII. Trouver le maximum de l'aire d'un triangle rectangle, sachant que la somme de Thypoténuss et de la hauteur correspondante est égale à a.

On trouve l'aire maximum égale à — . L'hypoténuse est —, et la hauteur

est -. Les deux côtés de l'angle droit sont égaux à -r— .

XIIL Parmi tous les triangles rectangles de même périmètre 2p, quel est celui dans lequel la somme des deux côtés de l'angle droit et de la hauteur abaissée sur l'hypoténuse est maximum?

On trouve, en appliquant la méthode générale, que le triangle est isocèle, que son hypoténuse est égaleà2p(V2 — l), sa hauteur à p(V2 — l), et chaque côté de l'angle droit h p{2 — V2).

XIV. Inscrire, dans un cercle, de rayon r, un trapèze dont les côtés non parallèles soient égaux à a, et dont la surface soit maximum.

On trouve que le trapèze maximum est un rectangle, dont les bases sont

égales à ^^r^ — a^.

XV. Inscrire, dans une sphère, de rayon R, un cône dont la surface totale soit maximum.

On applique la méthode (321); et l'on trouve que la hauteur du côo© est

XVI. On circonscrit à une sphère, de rayon R, un tronc de pyramide régulière, dont les bases sont des octogones réguliers. On demande le minimum du volume du tronc, lorsqu'on fait varier l'inclinaison a des faces latérales sur la grande base.

On trouve, pour expression du volume,

16(v/2 — i)rV 4 sin^a

dans le cas du minimum, « = -, V=:16(\/2 — i)R^

XVII. Une petite surface blanche est posée horizontalement sur une table, et éclairée par une lampe, dont la distance à cette surface, estimée par sa projection horizontale, est constante et égale à d. A quelle hauteur x doit se trouver la flamme, pour que la surface soit éclairée le plus possible?

On sait que l'intensité de la lumière, que reçoit la surface , est proportionnelle au sinus de Tinclinaison des rayons, et inversement proportionnelle au carré de la distance qui sépare le point lumineux de la surface. Si l'on désigne par a l'inclinaison, on trouve, pour le cas du maximum, en appliquant la méthode (315) :

tanga = -— ; dou x=-—,

On construira la solution.

XVIII. Trouver la valeur minimum de ^ " ,^, quand a varie de 0" à 30".

tan g-* a' ^

En posant : tang a=^x, et en remplaçant tang 3a par sa vjlcur en x, on trouve,

en appliquant la méthode ordinaire (311), un maximum (17 —12/2), qui ne convient pas, car il correspond k x = ^2 + 1 ; puis un minimum (17 + 12 y/f)

qui convient, et qui correspond à « = ^2 — 1, c'est-à-dire à a = ^.

XIX. Deux corps, de masses m et m', animés, dans le même sens, de vitesses V et V', viennent à se choquer. Trouver la vitesse commune x qu'ils prendront après le choc, sachant que la somme des produits obtenus en multipliant chaque masse par le carré du changement de vitesse est la moindre possible.

La quantité à rendre minimum est un trinôme du second degré en x; et, en appliquant la règle (307), on trouve :

mv + m'v' X =

XX. Si l'on donne x -\- y = a, la règle (315), qui fournit le maximum de œ''yf, s'étend au cas où p et g sont fractionnaires.

Comme on peut toujours poser : p = ^ , ^ = ^ , il suffit de remarquer qu'alors xfyi = ^xf'y'.

XXI. Trouver le minimum de a;'' -| — , p et g étant entiers ou fractionnaires, et X étant positif.

En posant x^ = y, — = ^> on trou?e (aiff et XX),^ = - ; d'où a; = i7-.