DES PROGRESSIONS

§ 1 . Des progressions par différence.

S26. DÉFINITIONS. Une progression arithmétique ou par différence est une suite de nombres tels que chacun d'eux surpasse celui qui le précède ou en est surpassé d'une quantité constante, qu'on appelle la raison de la progression.

Lorsque les termes vont en augmentant , la progression est à\\Q croissante ; elle e^i décroissante (\\xïmà. ils vont en diminuant.

Pour indiquer que des nombres font partie d'une progression, on les écrit les uns à la suite des autres, en les séparant par un point, et en les faisant précéder du signe ■=■; ainsi les suites

sont deux progressions par différence, l'une croissante, l'autre décroissante : les raisons sont respectivement 4 et 3.

On supprime la distinction que nous venons d'indiquer entre les progressions croissante et décroissante, en convenant que la raison est V excès d'un terme sur le terme précédent. Si la progression est décroissante, cet excès est négatif. Par exemple, la seconde des deux progressions indiquées a pour raison — 3.

En général, nous désignerons les termes d'une progression par différence par les lettres a, 6, c, . . t ^, fe, /,.... , la raison positive ou négative par r, et le nombre (^lû exprime le rang du terme l par n. Nous aurons :

Ta,b,c,d,, .. i,kj ,,,. [1]

527. Valeur du terme de rang n. D'après la définition, un terme, dans une progression croissante, se forme en ajoutant la raison au terme précédent. Le second est donc égal ka-{-r, le troisième à a+2r, le quatrième à a + 3r, ...., le rT' k a 4- (n — l)r. Donc un terme de rang quelconque se forme en ajoutant au premier autant de fois la raison qu'il y a de termes avant celui que l'on considère. C'est ce que l'on exprime par la formule :

Celte formule s'applique au cas où la progression est décroissante, pourvu que la lettre r représente un nombre négatif (520).

528. Corollaire. La formule [2], étant une relation entre les quatre nombres, a, l, r, n, permet de déterminer l'un d'eux, quand les trois autres sont donnés : il suffit de résoudre l'équation par rapport à la quantité inconnue. Elle fournit donc la solution de quatre problèmes faciles à énoncer, et dont les formules sont :

521). Insertion de moyens arithmétiques. Insérer m moyens arithmétiques entre deux nombres donnés a et 6, c'est former une progression, dont a et 6 soient les termes extrêmes, et dont ces m moyens soient les termes intermédiaires.

Il suffit évidemment, pour résoudre cette question, de trouver la raison de la progression; car, en l'ajoutant au premier terme, on aura le second; en l'ajoutant au second, on aura le troisième; et ainsi de suite. Or on connaît, dans la progression cherchée, le premier terme a, le dernier 6, et le nombre des termes (w4-2). On appliquera donc la formule [2], qui donnera :

ExEMPLE. Insérer 10 moyens entre 5 et 38. La raison est : r= — — — ou 3 ; cl la progression cherchée est :

550. Problème. Déterminer la condition pour que trois nombres donnés, a, b, c, fassent partie d'une même progression.

Supposons ces nombres rangés par ordre de grandeur : ils seront séparés, dans la progression inconnue, par des termes intermédiaires, qui pourront être considérés comme des moyens insérés entre a et 6, et entre h et c. Par suite, si Ton désigne ces nombres de moyens par {m — 1) et par(/i — 1), la raison devra

être éffale (329) à et à ; on devra donc avoir :

C'est la condition cherchée ; il faudra qu*il existe deux nombres entiers^ m et n, proportionnels aux différences (b — a) et (c — b).

Cette condition est toujours remplie, quand les nombres a, b, c, sont commensurables : car, si les nombres {b — a) et (c — b) sont fractionnaires, il suffira de les réduire au même dénominateur, et de prendre m et n égaux aux numérateurs. En multipliant les deux résultats par un même nombre entier quelconque, on aura d'autres valeurs pour m et n; de sorte que le problème a, dans ce cas, une infinité de solutions.

551 . Théorème. Si Von insère, entre les termes consécutifs d'une progression [1], pris deux à deux, un même nombre m de moyens arithmétiques j on obtient une progression unique^ dont la raison est le quotient de la division de la raison primitive par (m -f- !)•

En effet, les raisons des diverses progressions partielles sont (329) :

elles sont donc toutes égales à — -j— r (326). D'ailleurs le dernier terme de chacune est le premier de la suivante. On peut donc les considérer comme n'en faisant qu'une seule.

552. Théorème. Dans toute progression limitée, la somme de deux termes également distants des extrêmes est constante et égale à la somme des extrêmes.

Soit , en effet , la progression :

Ta,b,c,d, , », i, k,l',

le second terme b est égal à a + r, et l'avant-dernier k est égal à / — r; donc leur somme b-{-k = a-}-l.

En général, le terme x, qui en a p avant lui, est égal (527) à a-\-pr, et le terme y, qui en a p après lui, est égal à l — pr; donc leur somme a? ~|- y est égale h a-{-l.

555. Somme des termes d'une progression. Désignons par S la somme des termes de la progression qui commence par a, qui finit par l, et dont n est le nombre des termes. On a :

On n'altère pas cette somme en renversant les termes; si on les écrit de manière que les termes à égale distance des extrêmes se correspondent verticalement dans les deux lignes, on a :

Qu'on ajoute maintenant les termes de ces deux suites par colonnes verticales, et l'on aura :

2S = {a+l)+ib + h) + (c+i).,..+{i+c)+{h + b) + {l + a).

Mais toutes les sommées, renfermées entre parenthèses, sont égales (532) à (a + Z) ; d'ailleurs leur nombre est celui des termes de la progression. On a donc :

2S:;=(a-f On;

d'où ron déduit : S^^^^JK [6]

La somme des termes d'une progression par différence est la moitié du produit de la somme des extrêmes par le nombre des termes.

(b -4-38)xI2 Exemple, tft aoïftroe des \% termes de la progression (389) est ■ ^

ou 258.

Remarque. Si l'on ne connaissait que le premier terme a, la raison r, et le nombre n des termes, il faudrait, pour appliquer la formule précédente, commencer par calculer le dernier terme l, à l'aide de la formule [2]. En substituant sa valeur dans la formule [6], on a:

33-1;. Applications. 1° Trouver la somme des n premiers nombres entiers, 1 + 2 + 3+.. .. + n.

Comme ils forment une progression dont la raison est 1, leur somme est ;

, s=ii±îl\ ou S = iii±Il. (8,

Donc, pour avoir la somme des n premiers nombres entiers, on multiplie le dernier par celui qui le suivrait immédiatement, et Von divise le produit par 2. 2° Trouver la somme des n premiers nombres impairs,

Ils forment une progression dont la raison est 2; en appliquant la formule [7] on a :

Ainsi la somme desn premiers nombres impairs est égale au carré de n,

335. Problèmes. Les formules [2] et[6j fournissent deux relations entre les quantités a, l, r, n, S, relations qui permettent de déterminer deux de ces quantités, quand les trois autres sont données. De là dix problèmes à résoudre :

1° Étant donnés a, Z, r, déterminer n, S;

Parmi ces

problèmes, le i

cinquième

et le huitième sont du second' degré ; les

luit autres sont du premier

degré.

§ II. Des progressions par quotient.

556. DÉFINITIONS. Une progression géométrique ou par quotient est une suite de nombres, dont chacun est égal au précédent multiplié par un nombre constant que Ton nomme la raison de la progression.

Lorsque la raison est plus grande que Tunité, les termes vont en croissant, la progression est croissante; lorsque la raison est moindre que l'unité, les termes vont en diminuant, et la progression est décroisante.

Pour indiquer que des nombres font partie d'une progression par quotient, on les écrit à la suite les uns des autres, en les séparant par deux points, et en les faisant précéder du signe —.

Exemples. Les suites :

^4 : 12:36:108 : 324 :972 :...., ff 528 : 264: 132 : 66 : 33 : 16^ : . . .. ,

sont deux progressions par quotient, l'une croissante et l'autre décroissante ; les raisons sont 3 et ^. En général, nous désignerons les termes d'une progression

par quotient par a, b, c, d, , i, ^, î, . . . . , la raison par q, et

le rang du terme / par n. Nous aurons :

ir a:b:c:d: .,,. :i:J%:l: .,,, [i]

357. Valeur du terme de rang n. D'après la définition, un terme d'une progression par quotient se forme en multipliant le précédent par la raison. Le second est donc égal à aq, le troisième à aq"^, le quatrième à aq^, . . . . , le n™" à ag**~^ Donc un terme de rang quelconque est égal au premier multiplié par une puissance de la raison, dont V exposant est égal au nombre des termes qui précède celui que Von considère. C'est ce qu'exprime la formule :

l^zaq'^-K [2]

558. Corollaire. La formule [2], étant une relation entre les quatre nombres, a, l, q, n, permet de déterminer l'un d'eux, quand les trois autres sont donnés. On trouve aisément, en résolvant l'équation [2] par rapport à chacune des quatre quantités successivement :

[31 ^^ log^-logg

iogq

La dernière formule suppose connues les propriétés fondamentales des logarithmes (563 et suiv.).

539. Théorème. Si une progression est croissante^ on peut la prolonger assez, pour que ses termes dépassent toute limite donnée.

En effet, si Ton considère les trois termes consécutifs i, k, l, de la progression [1], on a, par définition,

k=^iq^ l = kq;

et, par soustraction , l — k = {k — i)q.

Or la raison g est supérieure à l'unité; donc la différence (l — k) est plus grande que la différence {k — i). L'excès d'un terme sur le précédent va donc en croissant. Or, si cet excès restait constant, comme dans la progression par différence, on pourrait, en l'ajoutant au premier terme a, un nombre suffisant de fois, obtenir un résultat aussi grand qu'on le voudrait. Il en sera donc de même, a fortiori^ si, comme nous l'avons reconnu, cet excès va en augmentant.

540. Théorème. Si une progression est décroissante, on peut la prolonger assez, pour que ses termes décroissent au-dessous de toute limite.

En effet, si la progression [1] a une raison q inférieure à.

Tunité , les termes -,-,-,....r,7,7, .... forment une autre

progression par quotient, dont la raison - est supérieure à Tu-

nité, puisque, des égalités

b^axq, c = bXq, d = cXq,,,,,

on déduit - = -x-, - = tX-, ~i=-X-,.,. . b a q c b q' d c q

Il résulte donc, du théorème précédent, que les fractions

-j 7> -7) peuvent devenir aussi grandes que Ton voudra, et par

i fi t

suite, leurs dénominateurs i, /c, l, peuvent devenir aussi petits que l'on voudra. C'est ce qu'il fallait démontrer.

541. Insertion de moyens géométriques. Insérer m moyens géométriques entre deux nombres donnés a et b, c'est former une progression par quotient, dont a et 6 soient les termes extrêmes, et dont ces m moyens soient les termes intermédiaires.

Il suffit évidemment, pour résoudre cette question, de trouver la raison de la progression : car, en multipliant le premier terme

par la raison, on aura le second ; en multipliant le second par la raison, on aura le troisième, et ainsi de suite. Or, on connaît, dans cette progression, le premier terme a, le dernière, et le nombre des termes (m -}- 2). On appliquera donc la formule [2], qui donnera :

OT+l I

Exemple. Insérer 3 moyens entre 7 et 112. La raison est

et la progression cherchée est :

vv7: 14: 28: 56:112.

542. Théorème. Si Von insère, entre les termes consécutifs d'une progression par quotient, pris deux à deux, un même nombre m de moyens par quotient, on obtient une progression unique^ dont la raison est la racine, dHndice (m + 1), c/e la raison primitive.

En effet, les raisons des diverses progressions partielles sont:

"■^^/T »•+«/- "^WTJ

elles sont donc toutes égales à ""v^^. D'ailleurs le dernier terme de chacune est le premier de la suivante. On peut donc les considérer comme n'en faisant qu'une seule.

545. Problème. Déterminer la condition, pour que trois nombres, a, b, c, fassent partie d'une même progression.

Si, en considérant a comme étant le premier terme, on désigne par (w+1) et par (n+ 1) les rangs inconnus de b et de c, on a (557) :

b = aq"", c = aq"",

q étant la raison inconnue. Si l'on élève la première équation à la puissance n, et la seconde à la puissance m, on aura :

d'où , en éliminant q :

C'est la coudition cherchée. Cette condition se simplifie, si l'on

jr»==-»' °"

suppose que a, &, c soient commensurables; car alors, en ré-

b c duisantles rapports - et -à leur plus simple expression, et en

désignant par I et ^ les fractions irréductibles équivalentes, on a:

Or, ces fractions, étant aussi irréductibles, ne peuvent être égales, que si l'on a :

ce qui exige, d'une part, que g eih soient composés des mêmes facteurs premiers, ainsi que /i et l; et, d'autre part, que les exposants d'un même facteur, dans g et k, et dans h et /, soient

dans un rapport constant— . Si ces conditions sont remplies,

elles déterminent le rapport — . Mais elles laissent m et n indéterminés; de sorte que a, b, c peuvent faire partie d'une infinité de progressions.

34:4:. Application. Quels sont les nombres commensurables qui peuwnt faire partie d'une progression par quotient, ayant pour termes 1 et 10?

Désignons par - l'un des nombres cherchés ; on doit avoir, d'après ce qui précède :

m et n étant des nombres entiers. Or le second membre étant entier^ le premier doit l'être aussi ; et comme ^est irréductible, pai hypothèse, il faut que l'on

ait : q= l, et, par suite, p''= 10". Mais pour que cette dernière égalité ait lieu, il faut que p ne contienne que les facteurs premiers 2 et ode 10, c'est-àdire que Ton ait : p = 2«X5P: il faut donc que 2*'"X 5?*= 2"X 5", et que,

par conséquent, am = ^m=:n. Il faut donc quea = p= — . Ainsi les exposants de 2 et de 5, dans p, doivent être égaux; ou, en d'autres termes, p doit être une puissance de 10.

Les puissances de 10 sont donc les seuls nombres commensurables qui puissent figurer dans une progression par quotient, dont 1 et 10 font partie.

543. Théorème. Dans toute progression par quotient, le produit

de deux termes également distants des extrêmes est constant et égal au produit des extrêmes.

Soit, en effet, la progression limitée :

^a:b:c :d: li: kil;

le second terme b est égal à ag, et Tavant-dernier k est égal à -;

doncleur produit 5/c = a^. En général, le terme rc, qui en a ;? avant lui, est égal à gp; et le terme y, qui en a p après lui, est

égala — ; donc le produit xy=al.

546. Produit des termes d'une progression. Désignons par P le produit des termes d'une progression, qui commence par a, qui finit par i, et dont n est le nombre des termes. Nous avons :

^=abcd,.,, . ikl.

On n'altère pas ce produit en renversant Tordre des facteurs,

et en écrivant :

P = Iki. .... dcba.

Si l'on multiplie ces deux produits égaux l'un par l'autre, en groupant deux par deux les facteurs de même rang, il vient :

V^=:{al) {bk) {ci) {ic) (kb) {la).

Or tous les produits renfermés entre parenthèses sont égaux (545) à al. D'ailleurs leur nombre est celui des termes de la progression ; donc :

p«=(aO^

d'où l'on tire :

V=^{al)\ [6]

Ainsi, le produit des termes d'une progression est égal à la racine carrée d'une puissance du produit des extrêmes, dont V exposant est le nombre des termes,

347. Somme des termes d'une progression par quotient. Désignons par S la somme des termes de la progression précédente ; de sorte que Ton a :

^=a+b+c+d+ J^iJ^u+l.

Si Ton multiplie les deux membres de cette égalité par q, on obtient :

Sq=aq'{-hq-\-cq-\-dq-\- +n+M-\-k'

Mais, par hypothèse, aq=b,bq=c, cq==d,..,., iq = k, kq = l-y donc l'égalité précédente devient :

Sq=b + c + d+ +h+l+lq.

Si Ton suppose g>»l, el qu'on retranche S de Sq, on a évidemment, en supprimant les termes qui se détruisent :

Sq — S = /g — a, ou S(^ — l)=:îq—a; d'où . S = ^. [7]

Ainsi, la somme des termes d*une progression croissante par quotient se forme, en multipliant le dernier terme par la raison, en retranchant du produit le premier terme, et en divisaîU la différence par V excès de la raison sur Vunité.

Si l'on suppose g < 1, on ne peut plus retrancher S de Sg; on retranche alors Sg de S, et l'on a :

S^—Sq=a—lq, ou S(l— g)=a — /g; d'où , S=..^'. [8]

Ainsi, la somme des termes d'une progression décroissante se forme, en retranchant du premier terme le produit du dernier par la raison, et en divisant la différence par V excès de l'unité sur la raiwn.

Mais les conventions faites sur les nombres négatifs rendent celte seconde forme équivalente à la première.

Remarque. Si Ton ne connaissait que le premier terme a, la raison q, et le nombre n des termes, il faudrait, pour faire usage des formules précédentes, commencer par calculer le dernier ierme l à l'aide de la formule [2]. En substituant sa valeur dans les formules [7] et [8], on a :

, L^l S = «-i^. et S = «-^'. no,.