Limite de la somme des termes d'une progression

DÉCROISSANTE. La formule [8], qui donne la somme des termes d'une progression décroissante^ peut s'écrire :

Or, si le nombre des termes va en augmentant indéfiniment, Texpression • -, qui ne dépend que du premier terme et de la raison, conserve constamment la même valeur; mais le produit l YZir^ composé d'un facteur i qui décroît sans limite (3iO),

et d'un facteur — -^ — qui reste constant, peut devenir aussi petit que l'on voudra. Par conséquent la somme des termes, toujours inférieure àr— -, peut différer de r--— aussi peu queron voudra, si le nombre des termes est suffisamment grand : en d'autres termes, j—- est la limite vers laquelle tend la somme,

lorsque le nombre des termes croit indéfiniment. En désignant cette limite par 5, on a :

^=T^- ni].

349. Application. Une fraction décimale périodique peut être considérée comme une progression décroissante; et la formule [11] lui est applicable. Soit, par exemple, la fraction périodique

Si on la sépare en tranches de deux chiffres, à partir de la virgule, on peut la regarder comme la limite de la somme des termes d'une progression décroissante à Tinfini :

dont la raison estr--. D'après la formule [11], cette limite est égale

ce qui est précisément le résultat qu'on obtient, en arithmétique, dans la théorie des fraction» périodiques.

EXERCICES

I. Quelles sont les progressions par différence dans lesquelles la somme do deux termes quelconques fait partie de la progression ?

Ce sont celles dont le premier terme est un multiple de la raison.

II. Quelles sont les progressions par quotient, dans lesquelles le produit de deux termes fait partie de la progression ?

Ce sont celles dont le premier terme est une puissance de la raison.

III. Si, dans une suite de nombres, chacun est la demi-somme de ceux qui le comprennent, ces nombres forment une progression par différence. Si chacun est moyen proportionnel entre les deux qui le comprennent, ils forment une progression par quotient.

On ramène immédiatement cet énoncé aux définitions (326 et 33«).

IV. Dans quelles progressions par différence existe-t-il un rapport, indépendant de n, entre la somme des n premiers termes et la somme des n suivants?

Ce sont celles où la raison est double du premier terme (liv. II, chap. vu, exerc. 1).

V. v'2, v^et y/f peuvent-ils faire partie d'une même progression par diiférence ou par quotient ?

Non. On s'appuiera sur les n°» 330 et 343.

VI. Si l'on prend la suite des nombres impairs 1, 3^ 5, 7...^ et qu'on, la sépare en groupas, dont le premier ait un terme, le deuxième deux termes, le troisième trois termes, etc., la somme des termes d'un même groupe est un cube.

Dû formera le premier et le dernier ternie de n"* groupe, et on appliquera la formule [6] du n" 333 : on trouverai*' pour somme.

YII. Si l'on considère la suite 1, 2, 4, 6, 8, 10. . . , la somme des n premiers termes est impaire; et, quand on ajoute au nombre ainsi obtenu les (n — 1) nombres impairs qui le suivent, on obtient un cube.

On trouve pour résultat n', en suivant la même marche.

VIII. Dans une progression géométrique de six termes, la différence des termes extrêmes est plus grande que cinq fois la différence des termes du milieu.

On exprime le rapport des deux différences en fonction de la raison, et l'on trouve que le minimum du rapport est 5.

IX. On forme une suite de termes tels, que chacun soit la demi-somme des deux précédents; connaissant les deux premiers termes a, h de cette suite, trouver de quelle limite on s'approche, lorsqu'on en forme un nombre de plus en plus grand.

La limite est — -^.

X. Soit AB une ligne quelconque ; on marque son milieu C, puis le milieu D de CB, puis le milieu E de DC, puis le milieu F de ED, le milieu G de FE, et

ainsi de suite indéfiniment; trouver de quelle limite les points C^ D, E, F, G,

s'approchent de plus en plus, lorsqu'on en marque un nombre de plus en plus grand.

Le point limite est au tiers de AB, à partir du point B.