XII. On forme la suite des nombres

1, 3, 6, 10, 15, 21, etc.,

tels que la différence de deux termes consécutifs va sans cesse en augmentant d'une unité ; trouver la somme des n premiers termes de cette suite.

On trouve que le n"» terme est égal à — ^— — - , et que la somme est égale à

XIII. Dans une progression par quotient, dont le nombre des termes est impair, la somme des carrés des termes est égale à la somme des termes, multipliée par l'excès de la somme des termes de rang impair sur la somme des termes de rang pair.

On forme les différentes sommes indiquées, et on vérifie aisément l'égalité.

XIV. Dans une progression par différence, dont les termes sont entiers, si p est un nombre premier avec la raison, et que l'on divise p termes consécutifs par p, on obtiendra pour restes tous les nombres 0, 1, 2, 3,... (p — 1).

On prouve que deux restes ne peuvent pas être égaux.

XV. Un triangle étant donné, on forme un second triangle qui ait pour côtés les médianes du premier, un troisième triangle avec les médianes du second, et ainsi indéfiniment. On demande la limite de la somme des aires de tous ces triangles.

CeltQ limite est quatre fois l'aire du triangle donné.