THÉORIE ELEMENTAIRE DES LOGARITHMES

§ I. Définition des logarithmes.

3o0. DÉFINITION. — Lorsque l'on considère deux progressions, l'une par quotient et commençant par l'unité, l'autre par différence et commençant par zéro, les termes de la seconde sont appelés les logarithmes des termes qui ont le môme rang dans la première. Ainsi, soient les deux progressions :

'■ ( tO. r. 2r. 3r.4r mr nr pr, , » . ;

mr est le logarithme de g*".

Remarque. — Le logarithme d'un nomhre considéré isolément est tout à fait arbitraire. Si l'on demande quel est le logarithme de 3, cette question n'a aucun sens, tant qu'on n'a pas choisi les progressions qui définissent le système des logarithmes dont on veut parler.

Dans tous les systèmes le logarithme de 1 est 0.

Soi. Extension de la définition. — D'après la définition précédente, lorsque l'on a choisi les deux progressions qui définissent un système de logarithmes, il semble que les nombres qui ne font pas partie de la progression par quotient, n'ont pas de logarithmes ; nous allons voir comment, en étendant celte définition, on est conduit à regarder chaque nombre plus grand ^ que l'unité comme ayant un logarithme.

Concevons que l'on insère entre deux termes consécutifs de chacune des progressions [1] un même nombre de moyens; nous obtiendrons (551, 54î£) deux nouvelles progressions, commençant encore l'une par 1, l'autre par 0, et dans lesquelles les termes correspondants des progressions primitives se correspondront encore. Nous dirons donc que les termes nouvellement introduits, dans la progression par différence, sont les logarithmes des termes de même rang, introduits dans la progression par quotient.

Alg. B. Ire Partie 13

552. Théorème. — Pour que cette extension de la définition soit admissible, il faut prouver que, si, en insérant des nombres différents de moyens, on amène un même nombre, de deux ma*nières diff'érentes, à faire partie de la progression par quotient, on lui trouvera, des deux manières, le même logarithme.

Supposons que l'on insère d'abord {p — 1) moyens entre les termes consécutifs des progressions [l], la raison de la progression par quotient sera (541), \/q; et la raison de la progression

par différence sera (529) -. En sorte que le terme, de rang (/c-j- 1), dans la première, sera (y^^)*; et le terme correspondant, dans la seconde, sera /c-.

P Supposons maintenant que l'on insère, entre les termes consécutifs des progressions [1], un autre nombre {p' — l) de moyens; un terme, de rang {h' + 1), dans la première , sera {^qY , et le

terme correspondant, dans la seconde, sera k' -. Nous voulons prouver que, si l'on a :

mr=(W, [2]

on aura aussi: /c- = /c— , ou - = -,.

Si, en effet, nous élevons les deux membres de régalité [2] à In puissance ;:'p', nous aurons :

mT''=iW, ou 9""=î"-

et cette dernière égalité entraîne évidemment :

kp=zkp, ou -=— •

Donc, 51 Von peut introduire un même nombre, de deux manières différentes, dans la progression par quotient, on lui trouvera, des deux manières, le même logarithme.

5ô3. Théorème. — Si Von calcule des logarithmes en insérant un certain nombre de moyens entre les termes consécutifs des deux progressions, puis pue Von en calcule 4' autres en insérant un autre

nombre de moyens^ ces divers logarithmes peuvent être considérés comme faisant partie d'un seul et même système. . Pour le prouver, remarquons que si , entre les termes consécutifs de la progression par quotient, on insère d'abord (p — 1) moyens, puis(p' — 1) moyens, tous les termes obtenus, dans l'un et l'autre cas, font pai'tie d'une seule et même progression, que Ton obtiendrait en insérant (pp' — 1) moyens. En effet, si l'on insère {pp' — 1) moyens entre deux termes consécutifs a et b d'une progression, le terme b aura, après cette insertion, le Q;p'+1)™^ j-ang. Si donc, dans la progression ainsi formée, on compte les termes dep'enp', à partir du second, c'est-à-dire

ie (jV + !)"**, le (2/+1)"»', le (3^-1-1)"^ , b se trouvera

le p""' de cette suite. Or, ^ étant la raison de la progression nouvelie, les termes ainsi désignés sont respectivement égaux

à aq^\ aq^p'j aq^^' ; ils sont donc en progression; et l'on

peut les considérer comme formant {p — 1) moyens entre a et b. De même, si l'on compte les tiîrmes de p en p, k partir du second, b se trouvera le p'"*^ de celte autre suite; et ces termes pourront être considérés comme formant (p'— 1) moyens entre a et b.

La même remarque s'applique à la progression par différence : on voit donc que les deux systèmes obtenus , en insérant séparément (p — 1) moyens et (p' — 1) moyens, sont compris dans le sy&tème uuique, qui correspond à {pp' — 1) moyens.

Par exemple, si a et & désignent deux termes consécutifs quelconques d'une progression par quotient ou par différence, et que l'on insère entre a et b, d'abord trois moyens, puis ensuite cinq moyens, de manière à former les progressions

a, A,, A2. A3, b, a, Bj, B2, B3, B4, Bj, &;

si l'on insère ensuite (4X6 — 1) ou 23 moyens, on formera une progression nouvelle, dans laquelle Ai, A2, A3 figureront aux rangs 1, 13, 19, et B,, Bo, B;^ B4, Bj, aux rangs 5, 9, 13, 17, 21.

00 4. Théorème. — On peut insérer, entre les termes consécutifs de la progression par quotient^ un assez grand nombre de moyens, pour que deux termes consécutifs quelconques de la progression nouvelle diffèrent aussi peu qu'on voudra.

En effet, soit q la raison, et soient A et kq deux termes consécutifs quelconques de la progression donnée. Si Ton insère

(m — 1) moyens entre ces deux termes, la raison de la progression nouvelle sera 7^*» P^r suite, deux termes consécutifs de cette progression, compris entre A et Aç, seront A(7ç)*et A (7 ç)*^'> et leur différence sera :

A (??)"'- A (-v/i)', ou A("v/?)*rv/5-l).

Comme k est inférieur à m, (v'g)' est inférieur à g; la différence est donc plus petite que

Or, quand m croît indéfiniment, {'sjq — l) tend vers zéro. Car, pour vérifier que l'on a, pour une valeur suffisamment grande de m,

Vg-l<e,

quelque petit que soit s, il suffit de prouver que Ion a, dans les mêmes circonstances :

Vq<^ + h ou g<(l+£)-;

et cette dernière inégalité est évidente, puisque Ton sait (339) que les puissances d'un nombre plus grand que 1 croissent, sans limites, avec leur exposant.

Ainsi le facteur {yq — l) tend vers zéro; d'ailleurs le facteur kq est fixe : donc le produit Aq {"sJq — l) peut devenir aussi petit que l'on voudra, si l'on donne à m une valeur suffisamment grande; et il en est de mêuie, a fortiori, de la différence considérée.

5oS. Remarque. — Il résulte du théorème (554), que les nombres dont les logarithmes sont définis dans les paragraphes précédents, croissent par degrés aussi rapprochés que l'on veut. Si l'on se bornait cependant à cette définition, il y aurait une infinité de nombres qui devraient être regardés comme n'ayant pas de logarithmes. On sait, par exemple (344), que, quel que soit le nombre des moyens insérés entre les termes de la progression par quoUent,

Tvi:io:ioo:idoo ,

aucun de ces moyens n'est commensurable. Tous les nombres

commensurables peuvent, au contraire, s'introduire comme moyens, dans la progression par différence,

Par conséquent, dans le système de logarithmes que définissent ces deux progressions, les nombres commensurables qui ne sont pas entiers j sont tous des logarithmes de nombres incommensurables, et les nombres commensurables qui ne sont pas des puissances de 10, nepouvant pas faire partie de la progression par quotient^ devraient être regardés comme n'ayant pas de logarithmes,

OoO. DÉFINITION DES LOGARITHMES DES NOMBRES QUI NE PEUVENT PAS FAIRE PARTIE DE LA PROGRESSION PAR QUOTIENT. — Quaud UH

nombre ne peut pas être introduit dans la progression par quotient, son logarithme, qui ne peut être commensurable (3oo), se définit de la manière suivante :

^Le logarithme d'un nombre N, qui ne peut pas faire partie de la progression par quotient, est plus grand que les nombres commensurables qui sont les logarithmes de nombres inférieurs à N, et plm petit que les nombres commensurables qui sont les logarithmes de nombres supérieurs à N.

Par exemple, dans le système défini par les progressions du n° oDo, le nombre 37 ne peut pas faire partie de la progressior par quotient. Pour définir son logarithme, concevons que l'on insère entre 10 et 100 un nombre considérable de moyens par quotient, et entre 1 et 2 le même nombre de moyens par différence; on trouvera, dans la progression par quotient, deux termes consécutifs qui comprendront 37, et dont les logarithmes commensurables, très-peu différents l'un de l'autre, comprendront, par définifion, le logarithme de 37. La valeur de ce logarithme sera, d'ailleurs, parfaitement déterminée : car elle sera la limite commune, vers laquelle convergeront les logarithmes des deux nombres qui comprennent 37, lorsque le nombre des moyens insérés croîtra indéfiniment.

537. Théorème. — » Il résulte de tout ce qui précède, que tout nombre, plus grand que l, a un logarithme.

§ II. Généralités sur les nombres incommensurables,

ô58. Définition générale des nombres incommensurables. — Nous venons (5o6) de définir le logarithme d'un nomijre, en disant quels sont les nombres commensurables qui sont plus grands que lui, et quels sont ceux qui sont plus petits que lui. Cette manière est le moyen ordinaire de définition pour les nombres incommensurables. Quelques explications sur ce sujet ne seront pas inutiles.

Il existe des grandeurs qui n'ont pas de commune mesure. On sait, par exemple, que la diagonale d'un carré n'a pas de commune mesure avec son côté; il en est de même de la diagonale d'un cube et de son arête. Dans ce cas, le rapport des deux grandeurs ne peut être représenté par aucun nombre, entier ôu fractionnaire : on dit qu'il est incommensurable.

Pour définir un nombre incommensurable, on ne peut qu'indiquer comment la grandeur qu'il exprime peut se former au moyen de l'unité. Veut-on, par exemple, définir \/2, nombre incommensurable qui représente une grandeur bien déterminée, savoir la longueur de la diagonale du carré construit sur un côté égal à l'unité ? On dira qu'un nombre est plus grand ou plus petit que )/T, selon que son carré est plus grand ou plus petit que 2. Et, cela posé, après avoir adopté une certaine unité de longueur, on regardera tous les nomtres comme exprimant des longueurs portées sur une même ligne droite, dans le môme sens, à partir d'une même origine. Une portion de cette ligne recevra les extrémités des longueurs mesurées par des nombres moindres que v^2; et une autre portion recevra celles des longueurs mesurées par des nombres plus grands que v/2. Entre ces deux régions, il ne pourra exister aucun intervalle d'étendue finie; car les nombres de l'une des séries diffèrent, aussi peu qu'on veut, des nombres de l'autre. Il n'y aura donc entre dues qu'un point de démarcation; et la distance à laquelle ce point se trouve de l'origine, est, par définition, mesurée par v/2.

Nous nous sommes bornés à définir la grandeur dont ^2 est a mesure. Et, en effet, il ne paraît pas possible de définir directement un nombre abstrait. Si l'on rélîéchit aux définitions

données, même dans les cas simples des nombres entiers et fractionnaires, on verra qu'elles ne sont que l'indication de l'opération à l'aide de laquelle la grandeur, dont ils sont la mesure, dérive de l'unité.

«5o9. Addition et soustraction. Ajouter ou soustraire des nombres incommensurables, c'est trouver un nombre exprimant k somme ou la différence des grandeurs que mesurent les nombres proposés.

560. Multiplication. Si le multiplicateur est commensurable, il n'y a aucun cbangement à apporter à la définition. Ainsi, multiplier v/2 par 7, c'est trouver un nombre exprimant une grandeur 7 fois plus grande que celle qu'exprime v^2. Mul-

tiplier \J^ par -, c'est trouver un nombre exprimant une gran-

deur égale aux - de celle que mesure v^2.

Mais si le multiplicateur est incommensurable, il faut une définition nouvelle. Nous appellerons produit d'un nombre A par un nombre incommensurable B, un nombre moindre que le produit de A par un nombre commensurable quelconque supérieur à B, et plus grand que le produit de A par un nombre commensurable quelconque moindre que B.

561. Division. Diviser un nombre A par un nombre B, c'est trouver un troisième nombre qui, multiplié par le diviseur B, reproduise le dividende A. Cette définition s'applique, quels que soient les nombres A et B, commensurablcs ou iacommensurables.

562. Racines. La racine 7n"* d'un nombre incommensurable est un nombre qui, pris m fois comme facteur, donne un produit ^ég•dl au nombre proposé.

On voit que la seule opération qui exige une définition véritablement nouvelle, est celle de la multiplication; toutes les autres se rattachent à celle-là.

5G3. Théorème. On peut toujours trouver deux norûbres cornmensurablesj ayant une différence aussi jjetite qu'on le voudra^ et qui compreimenî entre eux wi mmhrt incomynensurable demie.

Ea effet, soit n un nombre entier quelconque; si l'on considère la suite :

on voit que ses termes augmentent sans limite ; comme ils commencent à zéro, le nombre incommensurable donné, quel qu'il soit, est nécessairement compris entre deux d'entre eux,

- et . Et Ton peut prendre n assez grand pour que leur

différence, qui est -, soit aussi petite que Ton voudra.

5G4. Extension des théorèmes démontrés four les nombres COMMENSURABLES, AU CAS DES NOMBRES INCOMMENSURABLES.

Le théorème précédent permet évidemment d'étendre aux nombres incommensurables les théorèmes suivants, qui ont été démontrés pour les nombres commensurables.

r Dans un produit de plusieurs facteurs, on peut intervertir l'ordre des facteurs.

2° Pour multiplier un nombre par le produit de plusieurs facteurs, on peut le multiplier successivement par ces divers facteurs,

3** Pour multiplier un produit par un nombre, il suffit de multiplier un de ses facteurs par ce nombre.

4° Pour multiplier un produit par un autre, il suffit de former un produit unique avec les facteurs du multiplica^ide et ceux du multiplicateur.

b" Pour multiplier deux puissances d'un même nombre, il suffit d'ajouter les exposants.

§ III. Propriétés des logarithmes.

56o. Théorème I. Le logarithme d'un produit de deux facteurs est la somme des logarithmes des facteurs. Soient les deux progressions :

T 0 . r . 2r . 3r mr, . .. : nr.

qui définissent un système de logarithmes. Les termes de la

mière sont les puissances successives de la raison q\ ceux de la seconde sont les multiples consécutifs de la raison r.

Si l'on multiplie l'un par l'autre deux termes de la progression par quotient, $*" et $", on aura un produit g"*-^" qui, évidemment, est le (??i + n-l-l)"^ terme de la même progression; si l'on ajoute les logarithmes de ç"* et ç", qui sont mr et nr, on aura une somme (m + 7z)r, qui est évidemment le {in-\-n-\- lY"" terme de la progression par différence, et, par conséquent, le logarithme de 5"*^"; la proposition est donc démontrée.

ô(j(3, GÉNÉRALISATION. La démonstration précédente suppose que les nombres considérés font partie de la même progression par quotient. Elle est en défaut pour les logarithmes incommensurables définis (ooG). Pour démontrer que, dans ce cas, la proposition est encore exacte, remarquons que, si l'on donne deux nombres quelconques N et N', on peut toujours insérer dans les progressions assez de moyens, pour que les termes croissent par degrés insensibles, et que, par conséquent, il s'y trouve deux termes Ni et N'i, qui diffèrent, aussi peu qu'on le voudra, de N et de N'. Or on aura (565) :

log (Ni X N'O = log Ni -f- log N'i.

Le premier membre diffère, aussi peu que l'on veut, de log(NxN'), et le second, aussi peu que Ton veut, de log N -f- log N' ; il est donc impossible, que log (NX N') et log N + log N' aient une différence déterminée quelconque ; par conséquent, ces deux quantités sont égales. C'est ce qu'il fallait démontrer.

5G7. Extension au cas de plus de deux facteurs. Le théorème précédent s'étend à un nombre quelconque de facteurs. Soit, par exemple, un produit de quatre facteurs abcd; on a évidemment :

[1] log (abcd) — log {abc Xcl) = log {abc) + \og d

= log (a6) -f log c + log ci = log a + log 6 + log c -|- log d.

568. Théorème IL Le logarithme d'une puissance entière et positive d'un nombre est le produit du logarithme du nombre par l'exposant de la puissance.

Ce théorème est une. conséquence du précèdent. Soit, en eiîet, a* la puissance considérée; on a :

\oga^=\og{aXaXaXà)

= log- a + log a 4- iog a + log a = k log a.

La démonstration s'applique évidemment, quel que soit l'exposant entier et positif.

Ainsi , log a"* = m log a. l^]

5C9. Théorème III. Le logarithme d'un quotient est égal au logarithme du dividende^ mmns celui du diviseur.

Soient un quotient -, que je désignerai par q; on aura :

a = bXq', donc: log a = log 6 + log g;

d'où: logg = loga — log5, ou log^ =loga — log6. [3]

Remarque. On suppose, dans le théorème précédent, que le quotient r est plus grand que 1; car les logarithmes des nombres plus grands que I ont seuls été déiinis jusqu'à présent.

570. Théorème IV. Le logarithme d'une racine d'un nombre est égal au logarithme du nombre divisé par Vindice de la racine.

Soit la racine "(Z^, que je désigne par r; on a, par définition :.

d'où Ton conclut (5G8) :

loga = ?7ilogr; et, par suite,

, log- a , m,- lojï a. -.,

log r = -^ — .y ou log \Ja = -* [A]

571. Remarque. Les quatre théorèmes précédents montrent, qu'une multiplication de plusieurs facteurs peut être remplacée par V addition de leurs logarithmes ; une division, par la soustraction de deux logarithmes; une formation de puissance, par la multiplication du logarithme du nombre par l'exposant ; et enfin, une extraction de racine, par la division du logarithme du nombre par l'indice de la racine.

Mais il faut, pour profiter de ces simplifications, avoir une table de io;?arithmes. et savoir v trouver le logarithme d'un

nombre ôonné, et le nombre correspondant à un logarithme donné.

§ IV. Construction et disposition des tables de logarithmes.

572. Logarithmes vulgaires. Dans les calculs numériques, on emploie exclusivement le système de logarithmes défini par les deux progressions :

^ ï : 10 : 100 : looo : locoo : looooo :

Dans ce système, wie puissance de 10 a pour logarithme son exposant. Car, le logarithme de 10 étant 1, on a :

log 1 0"* = 7?i log 1 G = m.

Les logarithmes de tous les autres nombres^ entiers ou fractionnaires, sont incommensurables (555).

575. Caractéristique. On nomme caractéristique du logarithme d'un nombre la partie entière de ce logarithme. Les nombres compris entre 1 et 10, c'est-à-dire ayant une partie entière composée d'un seul chiffre, ont pour logarithmes des nombres compris entre 0 et 1; la caractéristique est zéro. Les nombres compris entre 10 et 100, c'est-à-dire ayant une partie entière composée de deux chiffres, ont des logarithmes compris entre 1 et 2 ; la caractéristique est 1. En général, les nombres compris entre 10"-* et 10" ont une partie entière composée de n chiffres; et leurs logarithmes, étant compris entre (n — 1) etn, ont pour caractéristique (n — 1).

Donc la caractéristique du logarithme d\in nombre contient autant d'unités quil y a de chiffres dœns la partie entière du nombre, moins un.

574. Théorème. Lorsqu'on multiplie ou qu'on divise un nombre par une puissance de 10, la partie décimale de son logarithme n'est pas altérée; mais la caractéristique est augmentée ou diminuée d'autant d'unités qu'il y en a dans l'exposant de la puissance.

Ihii effet, on a (5G5 et 5G8) :

log (a X 10") = log a + log 10"= log a + n; et (5G9) : log -^ = log a — log 10" = log a — n.

573. Construction des tables. On ne calcule et on n'inscrit dans les tables que les logarithmes des nombres entiers. Comme tous ces logarithmes sont incommensurables (53o), on ne peut les calculer qu'avec une certaine approximation; on se contente, en général, des sept ou huit premières décimales.

La définition, que nous avons donnée (536), conduit à la valeur approchée du logarithme d'un nombre. Car, si l'on insère dans les progressions un nombre considérable de moyens, il y aura deux termes consécutifs de la progression par quotient, qui comprendront le nombre donné, et dont les logarithmes seront des valeurs approchées de son logarithme.

Mais ce procédé serait fort long et très-pénible ; et nous allons montrer, par un exemple, combien il exigerait d'opérations. On donne, d'ailleurs, dans la seconde partie de l'algèbre, pour le calcul des logarithmes, des méthodes beaucoup plus rapides.

Exemple. On demande le logarithme de 1855.

Comme 1855 est compris entre 1000 et 10000, son logarithme est compris entre 3 et 4. Si l'on insère un moyen entre 1000 et 10000 dans la progression par quotient, et un moyen entre 3 et 4 dans la progression par différence, on

trouve

pour valeur du premier, et 3,5 pour valeur du second. Ainsi •

3,5 = log a= log 3162,27766.

Comme 1855 est compris entre 1000 et o, son logarithme est compris entre 3 et 3,5. Si l'on insère un moyen entre 1000 et a dans la progression par quotient, et un moyen entre 3 et 3,5 dans la progression par différence, on trouve, pour le premier,

et pour le second, - — - — ou 3,25

Ainsi: 3,25= 1 g b =log 1778,2794.

Comme 1855 est compris entre a et b, son logarithme est compris entre 3,25 et 3,5. Si l'on insère deux nouveaux moyens, on trouve, en désignant le premier par c :

3,375 =logv/â&= log 2371,3737 = log c.

De même, comme 1855 est compris entre b et c, son logarithme est compris entre 3,25 et 3,375. Une nouvelle opération donne :

3,3125 = log v^=log 2053,5250 = logd.

En continuant ainsi les calculs, on forme le tableau suivant :

3,5 = logo =log 3162, 27766

3,25 =log v/lOûOa^log & = log 1778, 2794

3,375 = log \Jâh =log c = log 2371 , 3737

3,3125 = log slbr =log d = log 2053 , 5250

3,28125 = log yjhd =log e = log 1910, 95294

3,265625 = log yjbè =log /* = log 1843, 42296

3,2734375 = log sJTf =log g = log 1876, 8843

3,26953125 = log sJJ^ =log h = log 1860, 0784

3,26757812 = log sjjh =log i = log 1851 , 7321

3,26855469 = log \/hi r=log ft = log 1855, 9005

3,26806641 = log y^ =log l = log 1853, 8151

3,26831055 = log \JE =logm = log 1854, 8575

3,26843262 = log v'^^ —log n = log 1855, 3789.

En comparant d'une part n et m, et de l'autre k et m, on a •

n= 1855,3789 fc= 1855,9005

d'où: n — m= 0,5214, fc — m= 1,0430;

et l'on voit que (?i — m) est à peu près la moitié de (k — m). En comparant, en même temps, d'une part, log n et log m, de l'autre, log k

et log m, on a :

log n=: 3,26843262 log k = 3,26855469

' logm= 3,26831055 logm = 3,26831055

d^où log 71- log 7/1=0,00012207 , logfc — log m =0,00024414;

et l'on voit que (log n — log m) est la moitié de (log A; — log m) . Ainsi , les différences entre les nombres sont entre elles comme les différences entre leurs logarithmes. Si l'on admet que, pour des nombres aussi rapprochés, cette proportion soit exacte, on en conclura immédiatement le logarithme de 1855. On dira, en effet : si pour une différence entre n et m, égale à 0,5214, il y a, entre leurs logarithmes, une différence égale à 12207 unités du huitième ordre, quelle sera, pour une différence de 0,1425 entre 1855 et 1854, 8575, la différence X des logarithmes? et l'on trouvera :

En ajoutant ce nombre au logarithme de m, on a : log 1855 = 3,26834391.

576. Disposition des tables de logarithmes de Callet. La première table est toute simple ; elle contient les nombres entiers

depuis 1 jusqu'à 1200, disposés suivant leur ordre, en pltisieurs colonnes, au haut desquelles on voit la lettre N, initiale du mot nombre; à côté et à droite de ces colonnes, on en remarque d'autres, au haut desquelles est écrit Log., initiales du mot logarithme; de manière que chaque colonne de nomhres est immédiatement suivie d'une colonne de logarithmes, et que chaque logarithme est placé à droite et dans l'alignement du nombre auquel il appartient. On n'a pas mis de caractéristique aux logarithmes, parce qu'on la connaît aisément à la seule inspection du nombre (375). Chaque logarithme est donné avec huit décimales.

Cette table est nommée Chiliade I, parce qu'en effet elle contient les logarithmes du premier mille. {Chiliade est un mot grec francisé, qui signifie assemblage de mille unités.)

Les tables suivantes sont un peu plus composées : elles s'ét-andent depuis 1020 jusqu'à 108000. La première colonne, qu'on y remarque vers la gauche, et qui est intitulée N, contient les nombres entiers depuis 1020 jusqu'à 10800. La colonne suivante, marquée G, offre les parties décimales des logarithmes qui appartiennent à ces nombres; en sorte que l'assemblage de ces deux colonnes forme la suite de la table première et donne sur-le-champ les logarithmes des nombres depuis 1020 jusqu'à 10800. Chacun de ces logarithmes n'a que sept décimales.

Si l'on observe la colonne intitulée N , on remarque que les nombres qui la composent ne sont pas tous écrits en totaUté ; les deux derniers chiffres à droite de chacun d'eux sont seuls inscrits à leur rang; quant aux autres, on ne les voit indiqués qu'une fois sur cinq. Mais il est facile de les rétablir, à la lecture.

Si l'on observe la colonne marquée 0, on voit, vers la gauche de cette colonne, certains nombres isolés, de trois chiffres chacun, qui vont toujours en augmentant d'une unité, et qui ne sont pas à des distances tout à fait égales les uns des autres. Vers la droite de la même colonne sont des nombres, de quatre chiffres chacun, qui ne laissent point d'intervalle entre eux; en sorte qu'on pourrait croire que certains logarithmes n'ont que quatre chiffres, tandis que d'autres en ont sept.

Mais qu'on ne s'y trompe pas; chaque nombre isolé est cens^ écrit au-dessous de lui-même, et vis-à-vis chacun des nombres de quatre chiffres qui sont dans la même colonne, autant de fois

qu'il est nécessaire pour que chaque ligne soit remplie : lors donc qu'on ne trouve, vis-à-vis un certain nombre, que quatre chiffres dans la colonne marquée 0, il faut écrire, vers la gauche de ces quatre chiffres, le nomhre isolé de trois chiffres le plus prochain en montant. Au delà de 10000, les nombres isolés ont quatre figures, et les logarithmes ont huit décimales.

Lorsque deux nombres sont décuples l'un de l'autre, leurs logarithmes ont pour différence le logarithme de 10 qui est 1,' et, par conséquent, leur partie décimale est la même (574). Ainsi l'assemblage des deux premières colonnes, dont nous venons de parler, donne aussi, de dix en dix, les logarithmes des nombres compris entre 10200 et 108000. Pour trouver les logarithmes des nombres intermédiaires, il faut avoir recours aux colonnes marquées 1,2,3,4, etc. Ces colonnes contiennent les quatre dernières décimales des logarithmes des nombres terminés par les chiffres qui sont en tète de ces colonnes. Ainsi la colonne marquée 8 contient les quatre dernières décimales des logariUmies des nombres, compris entre 10200 et 108000, qui sont terminées par un zéro, et en outre les nombres isolés dont nous avons parlé , et qui sont aussi censés placés à la gauche des chiffres que contiennent les autres colonnes. La colonne marquée 1 contient les quatre derniers chiffres des logarithmes de tous les nombres terminés par 1 ; la colonne marquée 2, ceux des logarithmes de to\is les nombres terminés par 2 ; la colonne marquée 3, ceux des logarithmes de tous les nombres terminés par 3; et ainsi de suite jusqu'à 9. On,a, par ce moyen, une table à double entrée, dans laquelle on consulte d'abord la première colonne, marquée N; et, lorsqu'on y a trouvé les quatre^ premiers chiffres du nombre dont on veut avoir le logarithme, on suit de l'œil la ligne sur laquelle ils se trouvent, jusqu'à ce qu'on soit arrivé à la colonne au haut de laquelle se trouve le cinquième chiffre du nouibre donné; alors on a sous les yeux les quatre derniers chiffres décimaux du logarithuie cherché. Quant aux trois premiers s ils sont exprimés par le nombre isolé qui se trouve, dans la seconde colonne, le plus prochain en montant. La dernière colonne contient les différences des logarithmes de deux nombres consécutifs de cinq chiffres et les parties de ces différences, c'est-à-dire les produits de ces mêmes différences multipliées par Yû, ^, ^, etc., jusqu'à ^. Ces produits for-

ment autant de petites tables qu'il y a de différences. Chacune de ces petites tables se trouve placée immédiatement au-dessous? de la différence dont elle indique les parties. Elle est divisée en deux colonnes par une ligne verticale : à gauche sont les nombres de dixièmes depuis 1 jusqu'à 9 ; à droite et en regard sont les parties correspondantes. On verra plus loin quel est l'usage de ces tables.

Mais comme, vers le commencement des tables, ces différences se trouvent trop nombreuses, et, par conséquent, trop près les unes des autres, elles n'auraient pas permis, si elles n'eussent occupé qu'une colonne, de placer les petites tables des parties proportionnelles dans l'intervalle qui se serait trouvé entre elles. C'est pourquoi on les a disposées d'abord sur deux colonnes : la première de ces différences occupe la première colonne ; les deux suivantes, sans sortir de la ligne horizontale où elles doivent être placées, sont repoussées à droite, et occupent la seconde colonne ; les deux différences qui suivent se trouvent sur la première colonne, et les deux suivantes sur la seconde ; ainsi de suite. Dans les quatre premières pages on n'a placé les tables des parties de ces différences que de deux en deux.

Pour rendre ces explications plus claires, nous reproduisons ici l'une des pages de la table de Gallet.

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Alg. B. Ire Partie.

On voit dans la table, à gauche de la colonne N, deux autres colonnes, que nous n'avons pas reproduites, parce qu'elles n'ont aucun rapport avec la théorie des logarithmes.

§ V. Usage des table» de logarithmes.

577. Problème I. Un nombre quelconque étant donné, trouver son logarithme, par le moyen des tables.

Le nombre donné peut être entier et plus petit que 108000; ou bien, il peut être décimal, ses chiffres formant, abstraction faite de ta virgule, un nombre moindre que 108000. On ramène ce second cas au premier; et l'on considère d'abord le nombre comme s'il était entier, sauf à donner ensuite à son logarithme une caractéristique convenable.

1*' Cas. Si le nombre donné est moindre que 1200, on le trour vera dans la première chiliade, parmi les nombres naturels qui sont dans les colonnes marquées N. Le nombre qu'on trouvera à sa droite, sur la même ligne, et dans la colonne suivante, intitulée Log., sera la partie décimale de son logarithme; quant à la caractéristique qui convient à ce logarithme, elle est toujours égale à 0, 1, 2 ou 3, selon que le premier chiffre significatif du nombre exprime des unités simples, des dizaines, des centaines ou des mille.

2" Cas. Si le nombre donné est compris entre 1020 et 10800, on le cherchera dans la table qui vient après la chiliade I; et l'ayant trouvé dans la colonne intitulée N, on consultera la colonne suivante, marquée 0. Si l'on y voit sept chiffres de front dans l alignement du nombre naturel, on aura tout d'un coup la partie décimale du logarithme cherché. Mais, si l'on n'y trouve que quatre figures , elles donneront les quatre derniers chiffres de la même partie décimale ; ensuite on remarquera qu'il règne, à leur gauche, une marge ou espace blanc; on suivra cette marge en montant; et le premier nombre de trois chiffres qu'on y rencontrera, exprimera les trois premières figures de la partie décimale du logarithme cherché. Écrivant donc ce nombre vers la gauche des quatre chidres qu'on a déjà trouvés, on aura un nombre de sept clnifres comme ci-dessus: enfin on y joindra une caractéristique convenable. Par exemple, à côté de

7680, je trouve 8853612 sur la même ligne et dans la colonne marquée 0; j'ai donc, tout d'un coup, la partie décimale du logarithme que je cherche; il ne me reste plus qu'à y joindre la caractéristique 3. Si le nombre était 7,680, la caractéristique serait zéro; elle serait 1, si le nombre était 76,80; 2, s'il était 768,0. A côté de 7695, dans la colonne marquée 0, je ne trouve que 2086 ; mais, en suivant la marge, le premier nombre que je rencontre, en montant, est 886; mon logarithme est donc 3,8862086. Si le nombre avait cinq figures, et qu'il lût moindre que 108000, on trouverait de même son logarithme.

3" Cas. Si le nombre est compris entre 10800 et 108000, il a le plus ordinairement cinq chiffres significatifs; on fera, pour un instant, abstraction du dernier, et l'on cherchera, comme cidessus, le nombre qu'expriment les quatre premiei^. On suivra de l'œil la ligne sur laquelle on l'aura trouvé, en la parcourant de gauche à droite, jusqu'à ce qu'on soit dans la colonne, en haut de laquelle est écrit le cinquième chiffre dont on a fait abstraction. Les quatre figures qui sont, tout à la fois, dans l'alignement des quatre premiers chiffres du nombre donné, et dans la colonne qui répond au cinquième, exprimeront les quatre dernières décimales du logarithme de ce nombre. Quant aux trois premières, on les trouvera, comme ci-dessus, en remontant le long de la marge de la colonne intitulée 0. Soit, par exemple, 772,37 dont on veut le logarithme; je cherche 7723 dans la colonne N, je ne vois rien dans son alignement à la marge de la colonne 0; mais un peu plus haut, je rencontre 887 dans cette marge, je parcours la ligne du nombre 7723, et je m'arrête à la colonne marquée 7, sur laquelle (dans l'alignement de 7723) je trouve 8254. La partie décimale de mon logarithme est donc 0,8878254; et ce logarithme est 2,8878254. Si le nombre était compris entre 100000 et 108000 on trouverait de même son logariihme.

578. Cas ou le nombre donné n'est pas dans la table. Les expircations très-détaillées, qui précèdent, donnent le moyen de trouver le logarithme d'un nombre entier moindre que 108000, etceluid'un nombre décimal, dont les chiffres, abstraction faite de la virgule, expriment un nombre inférieur à cette limite. Pour trouver les logarithmes des nombres plus grands,

on remarque qu'en divisant ces nombres par une puissance convenable de 10, on pourra toujours les réduire à être compris dans les limites de la table. Or, une pareille division diminue un logarithme d'un nombre entier d'unités (574), et ne change pas, par conséquent, sa partie décimale. Le problème se réduit donc à trouver le logarithme d'un nombre qui n'est pas entier et qui est inférieur à 108000.

Pour cela, on admet que, dans des limites peu éloignées^ V accroissement des logarithmes est proportionnel à celui des nombres.

Soit, par exemple, un nombre 76807,753; on dira:

le logarilme de 76807 est 4,8854008 ; celui de 76808 est 4,8854065;

leur différence, indiquée dans la table, est 57 (imités décimales du septième ordre); par conséquent, lorsque ie nombre augmente d'une unité, son logarithme augmente de 57 ; si donc le nombre augmente seulement de 0,753, son logarithme augmentera d'une quantité a?, déterminée par la proportion

0,753 X ' d'où 57=57X0,753.

Ainsi, pour avoir x, on multiplie la différence tabulaire par la partie décimale du nombre donné.

Dans la multiplication de 57 par 0,753, il ne faudra prendre que la partie entière du produit ; car la partie décimale exprimerait au plus des dixièmes d'unités du septième ordre, c'està-dire des unités du huitième ordre, que l'on néghge dans la valeur des logarithmes.

Pour multipher 57 par 0,753, on le multipliera successivement par 7, 5 et 3; ces produits se trouvent tout calculés dans le tableau placé au-dessous de 57, dernière colonne à droite de la table. Ils sont réduits aux chiffres que l'on doit conserver, en supposant que le multiplicateur exprime des dixièmes. Ainsi, vis-à-vis de 7, on trouve 40, au lieu de 39,9 qui serait le produit exact; vis-à-vis de 5, on trouve 29 au lieu de 28,5; vis-à-vis de 3, on trouve 17 au lieu de 17,1. Dans le cas actuel, 5 exprimant des centièmes, le produit correspondant sera 2,9, auquel on substituera 3 ; 3 exprimant des millièmes, le produit corres-

pondant devra être divisé par 1 00; il exprimera alors 0,17, et on le négligera.

La valeur de x sera, d'après cela, 43; et, pour avoir le logarithme demandé, il faudra ajouter au logarithme de 76807, 43 unités du septième ordre; ce qui fera 4,8854051.

Si l'on voulait le logarithme de 76807753, il serait évidemment 7,8854051. En général, pourvu que l'on conserve les mômes chiffres, dans le môme ordre, à quelque place que l'on mette la virgule, la partie décimale du logarithme reste la même.

Remarque. On dispose les calculs de la manière suivante:

Nombre.

Logarithme.

Log 76807,753 = 4,8854051

Dans l'addition, on n'écrit pas les sommes partielles provenant des chiffres situés à droite de la ligne verticale; on ne conserve que les retenues qu'elles peuvent donner pour le septième ordre.