Problème II. Un logarithme étant donnée trouver, par le
moyen des tables^ le nombre auquel il appartient.
1"Gas. Si le logarithme, abstraction faite de la caractéristique, se trouve parmi ceux de la première chiliade, on aura sur-le-champ le nombre qui lui correspond; ce nombre sera dans la colonne marquée N, qui précède immédiatement celle qui contient le logarithme donné, et dans l'alignement de ce logarithme. Après l'avoir écrit, on placera la virgule, de manière que le nombre ait un chiffre entier de plus qu'il n'y a d'unités à la caractéristique (575).
Exemples: 2,17026172 = log 148;
0,06781451= log 1,169.
2" Cas. Si le logarithme ne se trouve pas dans la première table, on cherchera les trois premières décimales de ce logarithme parmi les nombres isolés que l'on voit dans la colonne, amrquée 0, de la seconde table ; et les ayant trouvées, on cher-
cbera les quatre dernières figures du logarithme parmi les nombres de quatre chiffres, qui sont dans cette môme colonne, en descendant. Si Ton trouve ces quatre dernières figures, on verra le nombre cherché dans la colonne morquée N, et sur leur alignement. On écrira ce nombre, et Ton donnera à la virgule la place que lui assigne la caractéristique du logarithme.
Exemples : 4,8872796 =rlog 77140,
2,8863779 = log 769,8.
3* Cas. Si Ton ne trouve pas, dans la colonne marquée 0, les quatre dernières figures du logarithme donné, on s'arrêtera à celles qui en approchent le plus en moins; on suiVra la ligne sur laquelle on se sera arrêté, en la parcourant de gauche à droite; et, si l'on trouve dans cette ligne les quatre dernières figures du logarithme donné, on suivra, en montant ou en descendant, la colonne dans laquelle on les aura trouvées; le chiffre qu'on verra à la tête et au pied de celte colonne, sera la cinquième figure du nonilire cherché, dont les quatre premières se trouveront, comme ci-dessus, dans la colonne marquée N.
Veut-on savoir, par exemple, à quel nombre appartient le logarithme qui a, pour partie décimale, 8^71276? je cherche 887 parmi les nombres isolés de la colonne marquée 0 ; je parcours, en descendant, la môme colonne, et je trouve que 1107 approche le plus en moins de 1276; je suis la ligne qui commence par 1107, et je trouve 1276 sur celte ligne; je monte dans la colonne qui contient 1276, je trouve le chiffre 3 à la tête de celte colonne ; je viens à 1276, et je vois que la ligne, où il se trouve, répond au nombre 7711; j'écris ce nombre, et à sa droite le chiffre 3 que j'ai déjà trouvé : ce qui me donne 77113. C'est le nombre qu'il fallait trouver. Je place ensuite convenablement la virgule, d'après la valeur de la caractéristique.
Exemples: 4,8871276 = log 77113;
2, 8871276=: log771, 13.
4* Cas. Si le logarithme donné ne se trouve dans aucun des vas précédents, pour avoir le nombre auquel il appartient, on. cherchera, comme ci-dessus (3« Cas), le logarithme qui en approche le plus en moins. On cherchera le nombre entier correspondant; ce nombre et le suivant comprendront le nombre
deiDandé, et l'on cherchera la différence avec un de ces nombres entiers, à l'aide de la proportion admise (578).
Exemple. Soit à chercher le nombre dont le logarithme a, pour partie décimale, 8870282. On trouvera, comme il a été dit, que ce logarithme est compris entre 8870262 et 8870318, qui correspondent aux nombres 77095 et 77096; la différence de -ces deux logarithmes, indiquée dans la table, est 57 unités du dernier ordre ; et le logarithme donné surpasse le plus petit des deux de 20 unités du même ordre. On dira donc : à une différence 57 entre les logarithmes correspond une différence 1 entre les nombres ; donc, à une différence 20 entre les logarithmes doit correspondre, entre les nombres, une différence x déterminée par la proportion
d'où Ton conclut, x = — ; et, par suite, le nombre cherché est
77095 -r-rz, OU, en réduisant en décimales, 77095,35.
Ainsi, pour avoir x, il faut diviser la différence entre le logarithme donné et le plus petit de ceux qui le comprennent par la différence tabulaire.
Remarque I. Si l'on retranche l'un de l'autre Ifes deux logarithmes consécutifs 8870262 et 8870318, on trouve pour différence 56 et non 57. On peut adopter néanmoins la différence 57 donnée par Galiet, qui, à cause des chiffres décimaux non écrits dans la table, est peut-être aussi près de la véritable que 56.
Remarque II, On peut, à l'aide de la petite table des parties
proportionnelles, effectuer la réduction de x en décimales. On y cherche, dans la colonne de droite, le nombre qui approche le plus de 20 e?i moins; on trouve 17, qui correspond à 3; 3 est le chiffre des dixièmes du nombre cherché. Comme il reste .encore (de 17 à 20) 3 unités iiu septième ordre, on les convertit en 30 unités du huitième ordre; on cherche de nouveau, dans la colonne de droite, le nombre qui approche le plus d j 30, et le chiffre 5, qui est à gauche de 29, est le cliiffre des centièmes.
'^'EMARQUE III. On dispose le calcul de la manière suivante :
Logarithme. Nombre.
4,8870282 =rlog 77095,35.
Si Ton voulait le nombre qui a pour logarithme 5,8870282, il serait évidemment 770953,5. En général, après avoir trouvé, comme ci-dessus, les sept chiffres consécutifs du nombre demandé, en faisant abstraction de la caractéristique du logarithme, on place la virgule, de manière à séparer, sur la gauche, un nombre de chiffres supérieur. d*une unité à cette caractéristique.
500. Remarque IV. Nous ne pouvons pas indiquer ici la limite de l'erreur que Ton peut commettre, en supposant l'accroissement des logarithmes proportionnel à celui des nombres. Nous ferons observer seulement, que l'inspection des tables montre que cette proportionnante est à peu près exacte dans des limites assez écartées. La différence de deux logarithmes consécutifs varie, en effet, très-lentement; et, au degré d'approximation que donnent les tables, elle reste souvent constante pendant plusieurs pages; il en résulte évidemment que, pour les nombres entiers compris dans ces pages, l'accroissement des logarithmes est proportionnel à celui des nombres.
Lorsque l'on emploie cette proportion pour compléter le logarithme d'un nombre (578), l'erreur ne porte que sur les unités décimales d'un ordre inférieur au septième. Lorsqu'on l'applique à la recherche du nombre correspondant à un logarithme donné (579), elle ne peut fournir, au degré d'approximation des tables, que deux chiffres au plus, en sus des cinq chiffres que donne la lecture directe.
§ VI. Application de la théorie des logarithmes.
581. Moyen d'effectuer la multiplication, la division, etc. Lorsqu'un nombre inconnu résulte de multiphcations, divisions, élévations aux puissances ou extractions de racines, effcc-
tuées sur des nombres donnés, pour déterminer sa valeur, on cherche celle de son logarithme, qui résulte d'opérations beaucoup plus simples. Le logarithme étant connu, on détermine le nombre correspondant, comme il a été dit (579).
Exemple. Calculer l'expression :
v/369:625^Xv/'2629 ~" v^62o8,962
On a, d'après les principes (365) et suiv. :
log a;= ^log 36926,5 + g log 2629 - ^ log 6258,96.
On cherche les trois logarithmes dans les tables, et on effectue le calcul i
log 36926,5= 4,5673382 3 log 36926,5 = 13,7020146
^log36926,5= 1,9574307
r log 2629 = 3,4197906
i log 2629 = 0,6839581
log 6258,96= 3,7965022
2 log 6258,96= 7,5930044
I log 6258,96 = 2,5310015
log a; = 0,1103873
Donc: «=1,289399.
582. Cas ou quelques uns des nombres donnés sont plus PETITS QUE l'unité. D'après nos définitions, les nombres plus grands que l'unité ont seuls des logarithmes. Il est donc essentiel que les nombres, sur lesquels on opère, remplissent tous cette condition. Or on pourra toujours faire en sorte que cela ait lieu; car, si l'on a à multiplier un nombre par un nombre a
inférieur à l'unité, on pourra le diviser par le nombre -, qui
est plus grand que 1; et, si l'on a à le diviser par a, on pourra
le multiplier, au contraire, par-.
Exemple. Calculer l'expression
On écrit
et l'on a : log a; = ^ (log 13572 -log 11).
Or on trouve : log 13572 =:4;1326'i39
log 11 = 1,0413927
log 13572 — log 11 =3,0912512 2 (log 13572— log 11) = 6,1825024
loga;= l (log 13572 -log 11) =n 2,0608341 o
Donc: a?= 115,03608.
585. Cas ou le nombre a calculer est moindre que l'unité. Si le nombre à calculer était lui-même moindre que 1, nos définitions ne lui assigneraient pas de logarithme. Dans ce cas, on le multiplierait, au préalable, par une puissance de 10 assez grande, pour que le produit surpassât l'unité ; on appliquerait alors la méthode précédente, et l'on diviserait le résultat par cette puissance de 10.
Exemple. Calculer l'expression :
Comme x est plus petit que 1, on le multipliera par 10", n devant être déterminé plus lard; et l'on aura :
V 37o 10000 y375xlOOUO
V 5142 et, par suite,
log (10'»Xa;) = 7î- J(log 375+ log 10000— log 5142). o
Or on trouve : log375 = 2,5740313
log 10000 = 4, log 5142 = 3,7111321
log 375 + log 10000 - log 5142 = 2,8628992
g (log 375+ log 10000 — log 51 42) = 0,5725798.
On voit qu'il suffira de prendre n=\, pour que la soustraction puisse s'effectuer. On aura donc : '
log 10x= 1-0,5725798 =0,4274202.
On calcule ensuite le nombre correspondant :
Ainsi; 10j;=2,675694; d'où x = 0,2675594.
Î5 VII. Des caractéristiques négatives.
584. DÉFINITION DE LA CARACTÉRISTIQUE NÉGATIVE. NoS définitions n'assignent pas de iogarilhmes aux nombres plus petits que Tunilé; et, pour étendre jusqu'à eux le bénéfice de ce procédé abrégé de calcul, nous venons devoir (385), qu'on doitles rendre supérieurs à I, en les multipliant par une puissance convenable de 10. Mais ce n'est pas ainsi que Ton procède ordinairement dans la pratique. On ne change pas les nombres moindres que l'unité;* on définit, par une convention formelle, les logarithmes de ces nombres, et l'on démontre que les propriétés, dont jouissent les logarithmes ordinaires (n"» 505 et suiv.), s'étendent sans modifications aux logarithmes nouveaux.
Pour définir le logarithme d'un nombre A inférieur à l'unité, nous remarquerons qu'on peut toujours multiplier A par une certaine puissance n de 10, choisie de telle manière que le produit soit plus grand que l, et ait par conséquent un logarithme (5o7). Or on a vu (574) que, lorsque Ton divise par 10" un nombre plus grand que 10", la partie décimale de son logarithme ne change pas, mais la caractéristique (qui est au moins égale à n), est diminuée de n unités. On convient d'étendre ce théorème aux nombres plus petits que 10", lesquels, par la division, deviennent inférieurs à l'unité, et de nommer logarithme de A le logarithme de (Ax 10") diminué de n unités.
Exemple. Quel est le logarithme de 0,0076807753?
Si, pour fixer les idées, on multiplie ce nombre par 1000, de manière à le rendre plus grand que 1 et plus petit que 10, le produit est 7,6807753, et son logarithme est (578) 0,8854051.
On devra retrancher 3 du résultat pour avoir le logarithme cherché. Ainsi, par définition :
log 0,0076807753=0,8854051—3.
Comme 3 est un nombre entier, on le retranche de la caractéristique qui devient négative, et la partie décimale reste positive. On écrit d'ailleurs ainsi le résultat :
log 0,0076807753=:"3,8854051.
Si pour rendre un nombre A plus grand que 1 et plus petit que 10, il faut le multiplier par 10", la caractéristique du produit, qui est zéro, devient — n après la soustraction. On en conclut aisément, que la caractéristique négative du logarithme d'un nombre inférieur à l'unité, contient un nombre d'unités égal au rang qu'occupe, à partir de la virgule, le premier chiffre significatif du nombre.
585. Calculs relatifs aux nombres moindres que l'unité. Ilrésultedela convention, qui sert de définition aux logarithmes des nombres inférieurs à l'unité, que Von calcule la partie décimale de ces logarithmes d'après les règles posées (577 et 578), c'est-à-dire en faisant abstraction delà virgule, et que Von donne ensuite au résultat une caractéristique négative, dont la valeur est égale au rang du premier chiffre significatif du nombre après la virgule.
Inversement, on calcule les chiffres du nombre correspondant à un logarithme dont la caractéristique est négative, d'après les règles posées (ô7d et 580), c'est-à-dire en faisant abstraction de la caractéristique; et Von place ensuite la virgule, de manière que le rang du premier chiffre significatif, à partir de la virgule, soit èga^ au nombre d'unités de la caractéristique.
586. Extension des propriétés des logarithmes au cas ou LES nombres sont MOINDRES QUE l'unité. La propriété fondamentale des logarithmes consiste en ce que le logarithme d'un produit de deux facteurs est égal à la somme des logarithmes des deux facteurs. Nous allons montrer que cette propriété s'étend au cas où les facteurs sont jnoindrcs que l'unité.
Soient deux nombres, A, B^ tous deux inférieurs à 1 : soient IQP et 10' les puissances de 10, par lesquelles on doit les multiplier, pour qu'ils deviennent plus grands que 1 et plus petits que 10. Les logarithmes des deux produits seront compris entre 0 et 1 (575) ; de sorte qu'en les désignant par 0,a et 0,^, on aura :
log (AxiOP) = 0,a, log(BxlO') = 0,&.
Il résulte alors de la définition (5134), que :
logA=0,a— p, logB — 0,6— ç;
ei par conséquent,
logA+logB=0,a + 0,6— p — g. [1]
D'un autre côté, la propriété fondamentale (563), appliquée aux nombres (AXIO^) et (BX 10«), plus grands que 1, donne :
logî(AxiOP)(BxlO')j=]og(AX10P)+log(BxiO'),
ou log (AB X 10P+«) = 0,a+0,6;
et par suite, si l'on applique au nombre AB, qui est plus petit que 1,1a convention (584), c'esf-à-dire,
log AB=log (ABX 10''+«)— (p + ç), on en conclut :
logAB=. 0,a+0,b — {p+q), [2]
Comparant enfin les égalités [1] et [2], on en tire :
logAB=logA + logB. [3]
C'est ce qu'il fallait démontrer. On démontrerait la proposition, dans le cas où l'un des nombres A, B, serait plus grand que 1, en suivant une marche analogue.
La propriété fondamentale étant ainsi étendue à tous les cas, les autres propriétés des logarithmes (568, 569, 570), se trouvent, par cela même, généralisées : car elles sont des conséquences de la première.
587. Règles de calcul pour les opérations a effectuer sur LES logarithmes A CARACTÉRISTIQUE NÉGATIVE. Uu logarithme, à caractéristique négative, doit être regardé comme un binôme de la forme (—a+ 6), dans lequel— a représente la caractéristique et b la partie décmiale. Par conséquent, si l'on rencontre un pareil nombre dans une addition, on devra additionner la
partie décimale, et soustraire la caractéristique. Si l'on a, au contraire, à le soustraire, on devra retrancher la partie décimale, et ajouter la caractéristique.
Exemples.
Addition.
Soustraction.
Si l'on a à multiplier un nombre, à caractéristique négative, par un nombre entier, on multiplie séparément la partie décimale et la caractéristique par le multiplicateur, et l'on fait ensuite la réduction.
Exemple.
Le produit est
Multiplication.
S'il s'agit d'une division par un nombre entier, on divise d'à bord la caractéi islique négative du dividende par le diviseur ; e' si la division se fait exactement, on achève l'opération, en divisant la partie décimale. Mais, si la caractéristique du dividende n'est pas exactement divisible par le diviseur, pour conserver au quotient la forme qu'a le dividende, on prend le quotient par excès; on obtient ainsi la caractéristique négative du quotient, et un reste positif, que l'on ajoute à la partie décimale du dividende; et en divisant la somme par le diviseur, on trouve la partie décimale positive du quotient.
Exemples.
Division : l«»"cas, 12". 7328642
Division : 2«cas.
Le premier cas n'a pas besoin d'explication. Quant au second, on remarque que, 13 n'étant pas divisible par 5, et le plus petit nombre, supérieur à 13 et divisible par 5, étant 15, on peut écrire le dividende sous la forme —154-2,2672958 ; que le quotient de —15 par 5 est — 3, et que celui de 2,2672958 par 5 est 0,4534591 ; que par suite, le quotient complet est 3,4534591. Ce résultat s'obtient évidemment par la règle énoncée plus haut.
388. Application. Ces conventions nous permettent d'appliquer les procédés ordinaires du calcul des logarithmes, dans le cas où certains nombres sont moindres que l'unité, sans qu'il soit nécessaire de les rendre, au préalable, plus grands que 1. Reprenons, en effet, le calcul du n" 3 S S'. On demande de calculer l'expression :
Ona: log x= . (log —r + log 0,5142 ).
O V ûfO /
Or : log^=logl-log375 =0 — 2,5740313 ="3, 4259687:
puis log 0,5142 =1,7 111321;
donc : log~ + log 0,5142 = 3,1371008,
et
l 0°°3^ + log 0,5142^ =7.4274202.
Par suite, le nombre correspondant est : « = 0,2675594.
i § VIII. Emploi des compléments.
589. DÉFINITION. On appelle complément d'un nombre N à 10, la différence 10 — N. Si le nombre N est positif et plus petit que 10, les chiffres du complément sont les compléments à 9 des chiffres de N, à l'exception du dernier chiffre signilicatif de droite, qui est le complément à 10 du dernier chiffre de N.
Exemples. G» 3,72543 = 6,27457,
Si^ le nombre est positif et plus grand que 10, on obtient la partie décimale du complément d'après la même règle ; et pour
avoir la partie entière, on retranche 10 de la partie entière du nombre, on ajoute 1, et on donne au résultat le signe — ,
Exemple. 0*12,7258 = 3,2742.
Car on a à soustraire de 10 le nombre 12,7258 (587).
Si le nombre N a une caractéristique négative, on ajoute à 10 cette caractéristique , changée de signe, en la diminuant d'une unité, et l'on écrit, à la suite, le complément de la partie décimale.
Exemple. G*"3,74652 = 12,25348.
Car on a à exécuter Topération 10 + 3 — 0,74652.
590. Usage des compléments. Lorsque, dans les calculs logarithmiques, on est conduit à faire une soustraction, on la transforme le plus souvent en addition, à l'aide des compléments. On a, en effet, identiquement :
Il suffit donc, pour calculer la différence (a — 6), d'ajouter à a le complément de h, et de retrancher 10 du résultat.
En général, pour calculer l'expression (a— &+c — ^ + e — /*)> on la remplace par l'expression équivalente
dont la valeur s'obtient par une addition.
Exemple. Calculer la cinquième puissance de — -. On a : »
log 2= 0,30103000
log 37= 1,56820172 c' log 37= 8,43179828
log^nz. ^,73282828;
lo
tT 77
Donc (^) " = 0,0000004614677.
§ IX. Des différents systèmes de logarithmes.
