CONVENHONS QUI INTRODUISENT LES NOMBRES NÉGATIFS

POUR SIMPLIFIER LES ÉNONCÉS. La fomie (les résultats précédents peut se simplifiera l'aide d'une convention très-utile en algèbre. Cette convention consiste à regarder tous les termes tant positifs que négatifs (8) d'un polynôme comme ajoutés les uns aux autres. Ainsi, Yen convient de regarder la différence a — b comme résultant de V addition de a avec ( — b),

L'expression isolée ( — b), que l'on nomme xmnombYO, négatifs n'acquiert pour cela aucune signification; seulement on dit : ajouter { — b), au lieu de dire : retranchera.

On convient de même que retrancher ( — b), signifie ajouter b,

Il serait absurde de chercher à démontrer les formules [l] et [2] : les définitions ne se démontrent pas. On doit remarquer cependant, que la convention exprimée par la formule [2] est une conséquence toute naturelle de la première. En eff"et, si Ton ajoute {—h) à a, on obUent, d'après la première convention, l'expression a— 6 : si maintenant on retranche ( — b) du résultat, on a, d'après la seconde convenfion, a — b-\-b, ou simplement a : les deux opérations se détruisent, ce qui doit être. Mais si l'on ne faisait pas la seconde convention, il arriverait, qu'en ajoutant d'abord à un nombre a, puis en retranchant du résultat une même quantité (—6), on ne retrouverait pas le nombre a. Celte nouvelle convention est donc nécessaire, dès que l'on a adopté la première.

21. Règle générale d'addition. Ces deux conventions permettent de réduire la règle d'addition à l'énoncé suivant :

Pour ajouter deux polynômes, il faut ajouter au premier tous les termes dusecond, quels que soient leurs signes. Soient, en effet, les deux polynômes :

a — b-\-Cj m — n-\-p — q; leur somme est (18) :

a — b-{-c-{-m—n-\-p — q; ce qui équivaut, d'après nos conventions, à

a—b + c-{-m + {—n)-}-p + i--q); résultat conforme à l'énoncé.

22. Règle générale de soustraction. Les mêmes conventions permettent de réduire la règle de soustraction à Ténoncé suivant :

Pour retrancher un polynôme d'une quantité quelconque A, il faut en retrancher successivement ses différents termes, quels que soient leurs signes.

Soit, en effet, à retrancher de A le polynôme m — n—p-\-q ; on a vu (18) que la différence est :

et C'j résultat, d'après nos conventions, équivaut à

ce qui est conforme à l'énonce.

25. Remarque. L'introduction des nombres négatifs permet d'énoncer, avec plus de concision, des résultats auxquels cette forme nouvelle n'ajoute absolument rien. Nous verrons que tel est toujours, en algèbre, le but de leur introduction*.

24. Autre convention. Si l'on considère une différence (a— 6), et que l'on suppose b plus grand que a, l'opération est impossible; on convient alors de regarder r expression (a— b) comme représentant un nombre négatif égal à V excès de b sur a.

* Les explications qui précèdent sont absolument indispensables; elles n'ont lien de commun avec l'emploi des nombres négatifs pour représenter les grandeurs; nous ne parlerons de cette autre théorie qu'à l'occasion des problèmes du premier degré.

Cette convention est loute naturelle ; et, en ne la faisant pas, on détruirait l'analogie complète qui existe entre les opérations relatives aux nombres négatifs et positifs. Désignons, en elïet, par d l'excès de b sur a :

a — b = a — (û^ + rf);

si donc on applique la règle de soustraction (22j, on aura :

Nous prouvons ainsi, qu'il est naturel de faire la convention en question; mais nous ne démontrons pas la formule [3]. Notre raisonnement, en effet, est fondé sur l'application d'une règle de soustraction (22), qui, jusqu'ici, n'a de sens que pour des soustractions possibles. Il est naturel et commode de l'étendre à tous les cas ; mais cela n'en est pas moins arbitraire.

2o. Généralisation de quelques résultats. La convention que nous venons de faire permet de généraliser des résultats que Ton devrait, sans cela, énoncer avec restriction; on a, par exemple (13, 4*') :

Cette formule est évidente, lorsque a est plus ^rand que b. Notre convention la rend vraie dans tous les cas ; car si a est moindre que b, on a [24] :

et par suite, en appliquant successivement la première convention du n*> 20, et le sixième principe du n° 13,

De même la formule,

devient vraie, par suite de nos conventions, lors même que c est moindre que a. Car, en vertu de la convention (24),

Donc, en appliquant la S** convention du n° 20, puis les principes (13, 40 et 2^^),

c—{a—b) = c-\-{b—'a)=c-{-b'-a=b-}'C^a^ Alq. b. pe Partie. 2

D'un autre côté, d'après les mêmes conventions, c étant plus petit que a,

donc c — (a — 6)=6-|-(c — a).

Si Ton représente une quantité négative uoUe, par une lettre m, les formules d'addition et de soustraction subsistent :

Car si Ton pose m^—zz, n étant positif, on a :

et A+w=:A+( — n)=xV — n=A— (— m);

ce qui démontre les deux formules.

26. Remarque. Dans les questions d'algèbre, les valeurs numériques des lettres ne sont jamais fixées d'avance ; et lorsqu'on a à faire une o [aération algébrique, on ne sait pas si la mise en nombres ullérieure n'amènera pas des résultats auxquels ne sauraient s'appliquer les formules démontrées pour certains cas. Il est donc fort important que les formules s'appliquent à tous les cas possibles; et l'on comprend, d'après cela, quelle est la grande utilité des conventions relatives aux nombres négatifs.

EXERCICES

Deux courriers M et N parcourent la ligne OB. Au départ, ils sont situés, l'un en A et l'autre en B, à des distances a et î; du point 0; ils s'éloignent avec des vitesses i; et m , dans le sens OB. Trouver des formules pour exprimer, après le temps t, la distance x des deux courriers, et la distance \j du point 0 au milieu de la droite qui les joint.

On trouve : a;=Z;— a + (u — i;)f, ou x^^a—h -\-{yj—u)i^

selon que N est en avant ou en arrière de M;

puis ij = —^^—^t.

IL Trois vases contiennent des mélanges d'eau et de vin : le premier, a litres d'eau, & litres de vin; le deuxième, a' litres d'eau, &' litres de vin; le troisième, a" litres d'eau, V litres de vin. On prend la moitié du liquide contenu dans le premier vase, et on le verse dans le deuxième ; puis le tiers du liquiae qui se trouve alors contenu dans celui-ci, et on le verse dans le troisième. Trouver le»

formules qin indiquent la quantité d'esau et celle de vin contenues dans chaque

vase après ces opérations.

On trouve : Eau. Vin.

l"vase -, -;

IIL Deux vases A et A', dont les capacités sont v et v', sont pleins, l'un d'eau, l'autre de vin. A l'aide de deux mesures de même capacité, on extrait de chacun d'eux un même volume ti de liquide ; et l'on verse dans A ce qui a été pris dans AVet réciproquement. On recommence trois fois cette opération. Trouver 4es formules qui expriment les quantités de vin et d'eau contenues dans chacun des vases.

On trouve : pour le vase A,

quantité d'eau = (-^^ + - j^ + (^__ + __j.,

quantité de vin = ('-=^ + 'Lz^VJlLzÉ + (ijù=lt!l + 1) » ; et pour le vase A',

quantité d'eau = {-^ +-^ j "4^+ (^-T^+T'jï' quantité de via = (iï^ + ''IV^ + fîZl!! + "^Yl.