PRINCIPES SUR LES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES

a pour limite, quand h lend vers zéro, la dérivée de /(;r), qui est

m \ ic*-'+ (m— 1) Aia?"»-«+(»i— 2) A«a;"^+ , . . +A«-i; on a donc ^ — *— ^ — Li-J = /^(a?) + 8,

e étant une quantité qui tend vers zéro avec h. On en lire

f'(x), n'ayant pas de dénominateurs qui puissent s'annuler, n'est infini pour aucune valeur de x ; le produit

tend donc nécessairement vers zéro avec A, et, par suite, il en est de même de f{x -f A) — /"(x), ce qui démontre la proposition énoncée.

Remarque. La démonstration s'applique évidemment à toute fonction dont la dérivée est finie, et Ton peut énoncer ce théorème plus général.

Une fonction reste continue tant que sa dérivée ne devient pas infinie.