Théorème II. Dans une fonction entière

f(x) = kx'--]-kiX^'+ . .. A«^ia?+A«,

on peut toujours donner à x une valeur assez grande pour que le premier terme devienne aussi grand que l'on voudra par rapport à la somme de tous les autres^ et donne^ par conséquent^ son signe au polynôme.

Pour prouver que le premier terme peut devenir aussi grand que Ton voudra, par rapport à la somme de tous les autres, il suffit, évidemment, de prouver qu'il peut devenir aussi grand que Ton voudra, par rapport à chacun d'eux considéré isolément.

Or, en comparant le premier terme Aa;*", au terme général An^"*~*, on a

Aa*** a

AnX--~ a, '

t06 PICICIPIS SCE LIS ÎQCAT105S SCIfiAiQIJl».

et ce rapport, à cause du fadeor x", peut grandir sans limite. On peut donc prendre n assez grand pour que le premier terme soit mille, cent mille, un million, cent millions... de fois plus grand que l'un qaekonqae des autres, et, par suite, aussi grand que l'on voudra, par rapport à leur somme.

S84. Rexiiqci. n résulte du théorème précédent, qu'une fonction de degré pair a le même signe que le coefficient de son premier terme , pour de très-grandes valeurs positives ou négatives de la variable ; une fonction de degré impair, a, aussi, le même signe que le coefficient de son premier terme quand la variable reçoit une valeur positive très^grande ; mais elle prend un signe opposé à ce coefficient lorsque â; est négatif et de très-grande valeur absolue.

EOWLS. a!»— lOOOx*— 19500ar»4-l

est positif si la valeur absolue de â; est suffisamment grande, quel que soit du reste son signe.

est positif pour de grandes valeurs positives de âp, et négatif, lorsque x étant négatif, a une valeur absolue suffisamment grande.

S8tf. TatoRÈMS III. Lorsque deux nombreSj a et b, substiiués dans une fonction entière f(x), donnent des résultats de signes ûontrairesy l' équation f(x)ssO a ou moins une racine réelle eomr prise entre a et b.

Si l'on suppose, en effet, que x varie d'une manière continue depuis la valeur â? = a jusqu'à la valeur x^=b^ f(x) (SSS) variera lui-même d'une manière continue; or passant de la valeur f(a) à la valeur /*(&), qui a un signe contraire, il devra nécessairement changer de signe, et, à cause de la continuité, il prendra la valeur zéro^ intermédiaire entre les valeurs néga* tives et les valeurs positives.

Remarque 1. Le même raisonnement s'applique à toute équation dont le premier membre est fonction continue de la variable x.

PaiNQPES SUR UES ÉQUATIONS NUVBaïQUJSS. 307

286. Remarqub II. On peut déduire des théorèmes précédents qu'une équation algébrique de degré impair^ a au moins une racine réelle de signe contraire à son dernier terme.

Soit /(ar)=a;«*+*+ Aia?»»+A,a^* + . . . +A,^i=0

une équation de degré impair.

Si Ton substitue à x une valeur négative très-grande, le résultat de cette substitution sera négatif (284). Si l*on substitue, au contraire, une valeur positive très-grande, le résultat sera posilif; si, enfin, on substitue à a? la valeur 0, la fonction f{x) se réduira à son dernier terme An+i.

Nous pouvons indiquer ces résultats par le tableau suivant :

Valeurs de x.

Signe de f{x).

Signe de A^^.!,

Si donc k^i est négatif, f{x) change de signe lorsque x passe de la valeur 0 à -|- <» , et a, par suite, une radne positive. Si Àn+i est positif, «raO et â;= — qo donnent kf{x) des valeurs de signes contraires, et il y a, par conséquent, une racine négative.

Exemple. L'équation

a au moins une racine ppsitive, et

aj» + 8a?* + 3 = 0 au moins une racine négative.

887. Remàequs III. Une équati(m de degré pair^ dont le dernier terme est négatifs a au moins deux racines réelles.

Soit

/^(a?) == aï** + Aia5*^* + Aia5*»--« + . . . + Aftn-iaî + Aftn == 0 une équation de degré pair dont le dernier terme est négatif.

30S FllNCIPBS SUR LES iQOATIONS NUMÉRIQnBS.

D'après ce qui précède, on peut former le tableau suivant :

Valeurs de x. Signes de f{x).

Lors donc que â? varie de — œ à 0, f{x) change de signe, et il en est de même lorsque x varie deOà-f-^o.Ilya donc nécessairement une racine comprise entre — oo et 0, et une autre entre 0 et + « , c'est-à-dire deux racines, Tune positive et l'autre négapye.

Nombre des ncines d'une équaUon.

S8B. Nous admettrons sans démonstration la proposition suivante, qui est fondamentale, et qui, hàtons-nous de le dire, peut se démontrer en toute rigueur.

Toute équation algébrique à une inconnue^ ne renfermant que dê$ fuis8a$iee$ entières et positives de cette inconnue j et dont les aœffleients sont des nombres donnés^ réels ou imaginaires^ admet au moins une racine réelle ^ ou une racine imaginaire de la forme

, a+ bv^ — 1, ^etb désignant deux nombres réels.

Cette propositicm étant admise, nous en déduirons facilement la suivante :

Théorème fondamental.

2A9. Une équation du degré m de la forme

dans laquelle A, Âi, At, ... A.» représentent des nombres donnés^ • réels ou imaginaires^ admet toujours précisément m racines réelles ou imaginaires.

En représentant par X le premier membre de Téqualion [l], X = 0 admet , en effet , par hypothèse , au moins une racine. Si nous désignons celle racine par la lettre a, qu'elle soit réelle ou imaginaire , X sera [4] divisible par ^— a. Désignons le

PRINCIPES SUR LES tQUATlONS NUMÉRIQUES. 300

quotient par Q; il sera , dans tous les cas , du degré m— 1, et son premier terme sera kx'^K Nous aurons idenliquement :

Puisque,, par hypothèse, toute équation a une racine, Q= 0 en admet une ; si nous la désignons par 6, on aura :

et, par suite,

[3] \ = {x — a){x — b)Qi.

D'après le même poslulatum , l'équation Qi =0, qui est du degré m — 2 , et dont le premier terme est évidemment Ajf^*^ doit admettre une racine. Si nous la désignons par c, on aura :

Qi = {x — c)Qt, et, par suite,

[4] X = (ar — aXar — 6X«~c)Qi>

le premier terme de Qi étant évidemment Aof^'.

En continuant de la même manière» et opérant sur Qk coDune on Ta fait sur Q et Qi , chaque opération mettra en évidence un nouveau facteur du premier degré, et le degré des quotients successifs allant sans cesse en diminuant, on finira par en obtenir un qui sera numérique et évidemment égal à À. On aura donc :

A l'inspection de cette égalité , on reconnaît que Féquatiop X=0 est satisfaite pour les valeurs x=a^ a:=6, x=c ... xsst^ et qu'elle ne peut l'être autrement, car toute autre valeur attribuée à X n'annulant aucun des facteurs du second membre, ne peut annuler le produit.

2110. Remarque. Un produit de plusieurs facteurs n'est nul que quand Fun des facteurs est égal à zéro. Cela n'est évident que quand les facteurs sont réels; mais il est facile d'étendre la proposition au cas même où ils sont imaginaires.

Soit le produit (a-f V^Xû'+ftV^),

310 PimOPBS sut LIS tQTATIOKS RUlltBIQlIlS.

on a

Or on ne peut aToir à la fois :

[2] ofl' — 66=0,

car, en faisant la somme des carrés de ces deux équations, on en conclurait :

[3J {aa! — bbj + {aV + baj = 0.

Or, le premier membre de [3] est identiquement égal à (ai*+ 6^0^ -f- 6^, et ne peut s'annuler que â Ton a asO, 6 = 0, ou bien a' = 0, 6' = 0.

sot. Remarque U. La formule [5] (S89) permet de former le premier membre d'une équation du degré m, lorsque Ton connaît ses m racines. Ce premier membre ne contient rien d'arbitraire que le coefficient A , par lequel on peut évidemment nndtiplier une équation sans altérer les conditions qu'elle impose à rinconnue. Il résulte de là que deux équations qui ont les mêmes racines ne peuvent différer que par un facteur constant.

Polynômes identiques.

SOS. Une équation du degré m ne pouvant avoir plus de m racines, il en résulte que deux polynômes du degré m en x ne peuvent être égaux pour plus de m valeurs de cette variable i sans être complètement identiques. Si , en effet , on égale leur difTérence à zéro, on obtiendra une équation du degré m, qui, si elle n'est pas identique, ne peut être satisfaite pour plus de m valeurs de la variable.

Racines égales.