Dans la démonstration que nous avons donnée (SMS

rien ne suppose que les racines désignées par a, 6, c ... A;, / soient différentes. Le nombre des racines distinctes d*une

FRIMCIPSS SUE LB6 EQUATIONS IfUlfÉRIQOIS. 311

équation du degré m n*est donc pas toujours féeUement égal à m. On énonce cependant tous les théorèmes comme s'il en était ainsi, et pour en acquérir le droit, on dit qu'une racine a est double, triple ou quadruple , lorsque le facteur ar — a, qui lui correspond , figure deux , trois , quatre fois dans le produit qui est égal au premier membre.

Racines imaginaires conjuguées.

994, Si une équation à coefficients réels admet une raciqe imaginaire

elle admet nécessairement, et un même nombre de fois, la racine conjuguée

Si, en effet, Téquation X=0 est satisfaite par l'hypothèse

je dis que le premier membre X est divisible par {x — af-f-^- Effectuons, en effet, la division, le reste, devant être de degré moindre que le diviseur, sera de la forme mx-\^n^ et Ton aura

11] X = [(a?--a)* + ^]Q + Ȕa?-fn,

m et w étant des nombres réels , puisqu'il n*a pu s'introduire dans le calcul aucune expression imaginaire. Si dans les deux membres de l'équation [1] , nous faisons

a: = a 4- hsf—i , le premier membre s'annule par hypothèse. Il en est évidemment de même de (X'-^af-\'h\ et, par suite, on doit avoir

ce qiii exige wa -}- n = 0 ,

312 FRmaPSs sur lis ion axions numériqubs.

et, par suite» b n*élaht pas nul»

en sorte que X = [(a? — a)*+ ôTQ.

Or (a:— a)' + 6* s*annulant pour x^=a — V--λ celte équation prouve qu'il en est de même de X.

Si X est divisible par (a?— a — b^^)\ c'est-à-dire si la racine a4-*/--t est double, il faut que Q soit divisible par

X — a — b\P^y on prouvera alors , comme on Ta fait pour X , qu*U admet aussi le facteur {x — af + ^» et l'on aura :

en sorte que la racine a — h)J—i se trouvera aussi deux fois

dans X. Si X admet trois fois la racine a + hyj — 1 , il doit être

divisible par {x—^a — byf^f^ et, par suite, Qi doit admettre

le facteur x — a — byj^. On prouvera alors, comme on Ta fait pour X et pour Q, qu'il est divisible par {x — a)' + 6*, et que fon a :

en sorte que la racine a — h}/^ est triple, comme sa conjuguée. Le même raisonnement peut évidemment se continuer

indéfiniment, et par conséquent la racine a — h^J^—î a le même degré de multiplicité que sa conjuguée.

Relation enlre les coefficients d'une équation et les racines.