Soit ar+k^x"^^ + • • • + A«ia? + A

une équation du degré m, dont nous supposons , pour plus de simplicité, que le premier terme ait pour coefficient l'unité. Nous avons vu qu'en désignant par a, 6, c ... A;, / ses racines, on a identiquement :

[1] a?*"4-Ai^"*~*+-'+A«-ia:+A«=(a:— aXa?— ftX^"— ^).-. :

PRINCIPES SUR LES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. 3l3

mais on sait qu'en effectuant le produit indiqué dans le second membre» on aura (208) pour premier terme , a?* ; pour second terme, ic**"* multiplié par la somme des seconds termes — a^ — ft ... — ^, pour troisième terme a?"*-% multiplié par la somme des produits deux h deux de — a, —6, — c ... — /, ou, ce qui revient au même, par la somme des produits deux à deux de a, 6 ... ^, et ainsi de suite; en sorte que si Ton représente par la, 2a6, labc la somme des racines, la somme de leurs produits deux à deux, trois h troi% etc., on a

[2] {x — aXx—b)...ix—ky,x-'l)

=a?~ — ir«-i2a +a?«-'2a6— x'^laba+ ... ±: abc ... kl, ^

le dernier terme étant positif ou négatif, suivant que m est pair ou impair. En identifiant ce produit avec le premier membre de l'équation [i], on conclut le théorème suivant :

Dans toute équation algébrique dont le premier terme a pour coefficient l'unité

le coefficient du second terme Ai est égal à la somme des racines prise en signe contraire.

Le coefficient du troisième terme est égal à la somme des produits deux à deux des racines.

Le coefficient du quatrième terme est la somme de leurs produits trois à trois, pris en signe contraire, et ainsi de suite.

Enfin, le dernier terme est égal au produit de toutes les racines, pris avec son signe ou avec un signe contraire, suivant que le degré de l'équation est pair ou impair.

Ce théorème s'exprime par les équationnifeuivantes :

Al = — {a+b+c-\- ... + k + l),

A, = (a6 + ûc 4-. .. + &? + •• - + ^0, [3] ^ As = — (abc-^abd'\' ... -\- acd-^ ,.. -\- akl '\- .,.) ,

Am==toôc ... kL

En oimsidérant les racines comme des inconnues, nous avons là m équations distinctes auxquelles elles doivent satisfaire;

én^

314 ruRcms sn us éqcatioxs imiiiQiTBS.

lorsque Ton connaîtra qnelqœs-nnes des racines, ces équations pourront faciliter la redierche des antres, mais dles nepeuvent pas servir, en général, à la résolution complète de Féquation {MToposée. Si, en effet, on cherchait, par le mojen de ces équations, à déterminer une racine, a par exemple, il firadrfdl,poar cela, éliminer toutes les autres ; or, quel que soit le moyen que Ton emploie, je dis que l'équation obtenir derra aTœr pour solution non-seulement la Talenr a , mais encore les autres racines 6, c ... i, /. Si Ton remarque, en effet, que les racines entrent absolument de même dans les équations [3] , que rien ne les y distingue les unes des autres, on conclura que si l'on parvient par certains calcols à éliminer toutes les racines à l'exception de a , des calculs tout semblables auraient pu éliminer toutes les racines autres que b par exemple , sans qu'il y eût dans le résultat d'autre différence que le changement de a en b : c'est donc la même équation à laquelle a et 6 doivent satisfaire, et, comme on en peut dire autant des antres racines, il est évident que l'équation en a doit avoir pour racines a, 6, c ... Ap, /, et .qu'elle ne doit, par ccmséquent (991), pas différer de l'équation proposée elle-même. Cette conclusion peut d'ailleurs se vérifier d'une manière bien simple. Reprenons en effet les équations [3]

Ai=: — (a4-6-|.c4-...-|-A-f/), A|P=(a6-)-a£?4-...),

As = — (abe'\-abd -{-...),

A^^zïzabe ... kL

Multiplions la n^emière para****, la seconde paraT-*, la troisième par ar-* ..., la dernière par a, et ajoutons-les; on reconnaîtra facilement que Fon obtient ainsi l'équation

Aia«-« -I- A^"^ -f .. . 4- A« = — a*,

qui n'est autre chose que l'équation proposée dans laquelle a est remplacé par x.

S96. Remarqiie. II ne faut pas affirmer, en vertu de ce qui précède, que les équations [3] ne peuvent jamais conduire à la

PRIUCl^SS SUR LS9 AQUàTIONS IfUHiRIQOlS. 816

résolution d'une équation algébrique. Il est prouvé seulement» qu'en cherchant à atteindre ce but par l'élimination de m-««l des racines chercbéeft, on serait ramené à l'équation proposée elle-même; mais on peut concevoir d'autres manières de procéder. Cherchons, par exemple, à déterminer les deux racines a et 6 de l'équation

en faîsrat usage des relations

a-f-ft^s — Al, ab es Afl,

Formons le carré de la première équation, et retranchons^^en membre à membre la seconde équation après avoir multiplié tous les termes par 4, il viendra

(a + 6)* — 4a6 = Ai«— 4A,, ou ((i-.6)«=îAi«— 4Ai,

Connaissant a ^^^ et a -^6, on en conclut facilement a et b.

297. Nous terminerons ce chapitre en précisant davantage les conséquences que l'on peut tirer (285) de la substitution de deux nombres différents dans le premier membre d'une équation.

998. Théorèmb IY. Si deux nombres « et p, êubstituéê à x dtms le premier membre d'une équation algébrique X ssO, donnent des résultats de signes contraires^ ils comprennent un nombre impair de racines.

II faut entendre que les racines multiples sont comptées un nombre de fois égal à leur degré de multiplicités

Soient a, b ... ji les racines comprises entre « et p» Q le quotient de la division de X par (a?— «)(«— 6)...(/i?~p); en sorte que

X = (a? — aXa:— b) ... {x—p)Q,

316 PRINCIPES SUR LIS iQUÀTlONS NUMéUQUSS.

Q désignant le produit des facteurs qui correspondent aux racines iiiia(|[inaires et aux racines réelles non comprises entre a et p. Si Ton fait successivement, dans cette équation, ar =« , jp=p,onaura

Xj=(p— a)(p-6) ...ip—plQf,

X«, Q«, Xp, Q^ désignant ce que deviennent les polynômes X, Q, lorsque Ton y substitue à a? la valeur a ou la valeur p. Par hypothèse , X« et X^ sont de signes contraires. Il doit donc en être de même des seconds membres. Or Q« et Q^ sont de mêmes signes : car, sans cela, l'équation Q=0 aurait une racine au moins (28S) comprise entre a et p. Il faut donc que les produits

soient de signes contraires; et comme tous les facteurs du premier sont négatifs, et tous ceux du second positifs, il faut évidemment que le nombre de ces facteurs, et, par suite, le nombre des racines a, b ... p soit impair.

. On verrait absolument de même que si deux nombres donnent des résultats de même signe, ils contiennent un nombre pair de racines (ce nombre peut être zéro).

RÉSUMÉ

282. Toute fonction entière et rationnelle d'une variable x -varie d'une manière continue^ •— 283. On peut toujours donner à œ une valeur assez grande pour que la fonction prenne le signe de son premier terme. — 284. Signe d'une fonction de degré pair ou d'une fonction de degré . impair lorsque la variable reçoit de grandes valeurs positives et négatives. — 28i>. Si deux nombres a et 6, substitués à o, donnent à f{x), des valeurs de signes contraires, l'équation f(œ) = 0 admet en moins une racine comprise entre a et 6. — 286. Une équation de degré impair a toujours une racine réelle de signe contraire à son dernier terme. -^ 287. Une équation de degré pair, dont le dernier terme est négatif, a deux racines réelles au moins, l'une positive, l'autre négative. —