CHAPITRE XXII

Facteurs communs à deux polynômes.

501. Nous avons ni (289) qu'une fonction entière de la variable X peut toujours se décomposer en facteurs du premier degré, de la forme {x — a), « désignant un nombre réel ou une expression imaginaire indépendante de x. La décomposition ne peut se faire que d]|jiine seule manière , et chaque polynôme admet seulement ub nombre de facteurs égal A son degré. En général , deux polynômes différents admettront des facteurs inégaux > et ce sera seulement dans des cas particuliers qu'ils en auront un ou plusieurs de communs. Il est important , dans plusieurs recherches d'algèbre, de savoir décider si deux polynômes donnés se trouvent précisément dans un de ces cas , et quel est alors le produit des facteurs communs que Ton nomme plus grand commun diviseur des deux polynômes.

Soient ^{x) et ^^x) les deux polynômes ordonnés suivant les puissances décroissantes de x. Supposons ^x) de degré supérieur à 9i(j7), et divisons le premier de ces polynômes par le second. Soient Q le quotient et ^t{x) le reste, on aura

?(a?)=Qîpi(a?)+((>i{a?);

et cette égalité prouve que le produit des facteurs communs à ^[x) et à cp,(a:) est le même que celui des facteurs communs à (pi(a;) et à t^x).

Soit, en effet, (a:— -a) un facteur commun à ^{x) et à <p,(x) cpii figure p fois dans chacun de ces deux polynômes; ï^{x) et ^ï[x) étant divisibles par {x — a)^, la somme

et Tiine de ses parties,

admettent évidemnient ce diviseur; et il en est , par suite , de même de l'autre partie de la somme, c'est-à-dire àe\t(x).

On verra de même que si <^^,x) et <^i{x) admettent p fois un facteur (a? — «) , il en sera de même de <p(^).

Il est bien entendu que , dans ce qui précède , on peut avoir

D'après cela , les facteurs communs à (^{x) et à ^i(x) sont les . mômes que les facteurs communs à cpifa?) el h ^fHx); ils doivent être pris dans les deux cas avec les mômes exposants ; et , par suite, le plus grand commun diviseur de cp(a?) et de cpi(a?) est le même que celui de cpi(a?) et de <f*^x).

On ramènera de la même manière la recherche du plus grand commun diviseur de <fi(x) et de fJix) à celle du plus grand commun diviseur, entre ®i(^) et le reste Wa?) de la divisîbn de <pi par cpj ; on continuera ainsi à substituer aux polynômes proposés d'autres polynômes dont le degré ira sans cesse en diminuant , et lorsqu'on parviendra à une division qui se fera exactement , le diviseur de cette dernière opération sera le plus grand commun diviseur cherché.

Si l'on parvient à un reste numérique avant d'avoir rencontré une division qui réussisse, les polynômes proposés n'ont aucun facteur commun et il n'y a pas de plu» grand commun diviseur.

REMARQU|U.En cherchant le produit des facteurs communs à deux polynômes on ne se préoccupe aucunement des facteurs numériques. On peut donc multiplier l'un des polynômes donnés, ou l'un quelconque des restes obtenus dans l'opération, par un facteur numérique quelconque; on profite souvent de cette remarque pour éviter l'introduction des dénominateurs numériques. Il suffit, pour cela, de multiplier les . dividendes successifs par le coefficient du premier terme du diviseur, et on doit prendre cette précaution , non-seulement pour les fonctions successives <p, <pi, <p2, (ps, ..., qui servent successivement de diviseurs , mais aussi pour les dividendes partiels qui se présentent dans le cours de chaque division.

Supposons, par exemple, qu'en divisant (^(x) par cpi(a?) , on ait

trouvé au quotient un certain nombre de termes dont je re* présenterai Tensemble par Qi.

Soit ^x) ce qui reste du dividende lorsqu'on en a retranché le produit de Qi par le diviseur, on a

et l'on prouvera, comme (504), que les facteurs commims à <f{x) et à (^i{x) sont les mêmes que les facteurs communs à ^ix) et à ffi(x) , et , par suite aussi , que les facteurs communs à mx) et à (pi(ic), k étant une constante quelconque; il est donc permis de continuer Topération après avoir multiplié le dividende partiel ^(x) par un facteur numérique k.

505. Exemples. Soit à chercher le produit des facteurs communs aux deux polynômes

Voici le tableau des opérations :

cpar= a?' — 3a;*+ a^ — 4a;»+12a? — 4 ^iX=z2x^--6iC^-\-3x^—Sx+ 1

2rr'— 6a;«+2ap*— 8a;^+24a;— 8 1 2a:<— 6aj3-f-3a;'— 3a?+1

— g^-Hâag<— #-- 8rc'+24a;— j

— 2af*+6x<— 2053— 16a;'+48a;— itf — 2«»+6a;<— 8«P4- Za^— x

iT^— 19a;»4-49x— 16

2x^— 6«3+ 3a;2— 3aj+l | 0^3—19^24-493;— 16 2»^— 38fl534-98a;2— 32aj 2«+32

32^^^~95Îc»+~l9Îp-fl 32af3— 608a?'+1568a?— 512

a;»— 19a?+49a;— 16 | a;^— 3a?+l gg^— 3a;»+ a? aî-r-ld

Ainsi donc, le produit des facteurs communs est (a?" — Sar-f-l) ;

et Ton a :

<pa?=:(a:«— 3ar+l).( «■— 4),

(pia?=(a?«— 3a?+ 1) •(2«*+ 1).

On remarquera que, dans les opérations précédentes, le polynôme 9 {x) et le premier reste de la première division ont été multipliés par 2 , et le reste de la seconde division divisé par 513. Cette introduction, ou suppression de facteurs numériques, est permise, comme on Ta remarqué plus haut, quoiqu'elle change les quotients successivement obtenus. Ainsi , par exemple^ eo divisant (f(x) par <pi(a?), sans faire usage de ces simplifications, on trouverait pour quotient

au lieu de ^r" — x que nous avons obtenu; mais les quotients n'étant d'aucun usage, cela n*a pas d'inconvénients.

Exemple II. Considérons pour second exemple les deux polynômes :

a;« — 49a:* + 67a:' + lOr» — 25a? — 4 , et 2a:»— 18a:* -f- 39a:»— 25a:' + a: + 1.

Voici le tableau des opérations :

2a!» — 98af<4-134a^4- 20a;«— 50a;— 8 | 2#— 18g<+39a?»— 25ac»+a;-ht

18a;*— 16?a;<+35la^»— 2253;»+ 9a?+ 9 Zbx* - 192a;3^244a;»— 60a;— 17

50a;*— 450a;^+ 975a;»- 625aJ»+ 25«+ 25 | 25a;<-192a^+244a;'-60a;— 17 SOa;*— 3g4a;<+ 488a;»— 1203;^— 34a; 2a; — 66

— 66a;<+ 487ar^— 5053;^+ 59a;+ 15

25a;<— l»îfl?+244a;î-60a;— 17 | a?— 7a;'+Ba;+l '" 25a;<— 175a?+125ac'+25a? 25a;— 17

— 17a?+ll9a?— 85a;-17

- 17a?4-119«2— 85flf-^7

Le produit des facteurs communs est donc (a:*— TjT'+ôaî+l) ; et en divisant par ce produit les deux polynômes <fx et 91^7, on aura :

et (pia? = (dc»— 7x*+5x+l ) . (2a;«— 4a:+ 1 ).

Nous remarquerons, comme plus haut, que diverses simplifications ont été apportées aux divi^ns précédentes :

Dans la première, on a multiplié le dividende par 2;

Dans la seconde, le dividende a été mulliplié par 25 ainsi que le premier dividende partiel ; le reste a été divisé par 497.

Exemple III. Nous chercherons encore le plus grand comnmii diviseur entre

af'— 7a:»+l5a:*— 40a?«4-48a?— 16

et ar»— 35x*-|-60a^-8ac +48 .

Voici le tableau des opérations :

6af«— 42ir*+ 90«<-240flf'+ 288j;— 96 | Sag^— 35ap^+60ag^— 80a;+48 &^—Zba^-\- 60a?*— 80x^4- 48g « — 7

— 7ags+ 30g^-160j'+ 240ag— 96

— 42x*+180x<-96(te»4-1440x— 576

— 42Jg^+24&ag<— 42(kr^4- 560a;— 336

— 65g<+42Qg»— 960a?»4- 880a;— 240

78a;*— 455a;<+ 780a?»— 1040a? + 624 1 13a;*— 84a;i4- 192a?— 17ea;+48

78a;^-504ag*+1152a;^ 1056a;'+ 288a? 6a? +49

+ 49a;^— 372a?»+ 1056a^— 1328a;+ 624 6370?^— 4836a?»+13728a;»-17264a;-f 8112 637ag*-4116a?>-f 9408a?- 8624fls4'^352

13a;*— 78a?+15Gg^-104a? 13af— 6

Donc le facteur commun est a^ — 6a;'+l2a;— 8. Dans ces divisions on a introduit et supprimé, comme dans

les précédentes, des facteurs numériques, que le lecteur, suffisamment averti, apercevra sans peine. t

Racines communes à deux équations.

506. La théorie qui précède permet de ramener la recherche des racines communes à deux équations, à la résolution d'une équation qui ne contient plus qu'elles seules , et qui est , par conséquent, de degré moindre que les proposées. Il est clair, en effet, que le produit des facteurs communs à deux polynômes, étant égalé à zéro, donnera précisément les racines qui les annulent Tun et Fautre.

Soient, par exemple, les équations

af'—A^x^ -f 67^»* 4- 1 liT» — 25a?— 4 = 0, 2â?»— 18a:» + 39j:»+26ic>+ x +1=0;

on a vu (305) , que le produit des facteurs communs à leurs premiers membres, est

a:» — 7a:»+5ir + l,

et, par suite, les racines communes s'obtiendront en résolvant l'équation du troisième degré

But de la théorie des racines égales.

507. Les procédés employés pour la résolution des équations numériques, exigent que ces équations n'admettent pas de racines égales. Il est donc essentiel de résoudre les deux questions suivantes.

!• Une équation algébrique étant donnée, reconnaître si elle a des racines égales.

2** Une équation ayant des racines égales , ramener sa résolution à celle de plusieurs autres équations de degré moindre, et dont les racines soient inégales.

THÉORis DIS Racines égalks. 331

Moyen de reconnaître si une équation a des racines égales.

308. On dit qu'une équation 9 (x)=0, admet n fois la racine a, lorsque 9(^7) est divisible par {x — a)*; le théorème suivant exprime les conditions nécessaires pour qu'il en soit ainsi.

Théorème I. Pour qu'un nombre a soit n fois racine d'finê équation algébrique <p(x)=0, il est nécessaire et suffisant que^ substitué à x, il annule la fonction ç(x) et ses n — 1 premières dérivées.

On a, en effeti identiquement

x=.a-\-{X'-' a)^ (p (a?) = cp[a -}-(a; — a)].

En développant <p (a -{- ar — a) par la formule générale donnée

A la seule inspection de cette formule , on voit que la condition énoncée est suffisante. Si Ton a, (p(a)=:0, (p'(a)r=:Oy (p»^*(a) = 0, tous les termes restant dans le second membre contiendront {x — a^ en facteur, et 9 (a?) sera par conséquent divisible par {x — af.

Je dis de plus que cette condition est nécessaire ; supposons en effet que ^{x) étant divisible par {x — a)", et ^{x) étant la première des dérivées de fi^(x) qui ne s*annnle pas pour â?=a, on ait p<» ; Téquation précédente deviendra

si l'on divise les deux membres par (« — o)», il vient

332 iHftOUI DIS ftACDCIS iGALIS.

égalité impossible, car f(x) renfermant par hypothèse (jr—a)" en facteur, et n étant plos grand que p, le premier membre s'annule pour x=a, et le second prend une yaleur différente

de zéro, sayoir : ,^ ' .

On peut déduire du théorème précédent, les conditions suiyantes.

309. Théoeèms U. Pour qu^un nombre a soU n fins racine éTune équation algébrique ^;x}=0, il est nécessaire et suffisant que substitué à x, f7 ammle le polynôme (p(x) et qu'il soit^ en outre f n — 1 fi)is racine de F équation dérivée <p'(z)=0.

11 résulte, en effet, du théorème précédent que les conditions nécessaires et suffisantes sont exprimées par les équations

dont les n — 1 dernières expriment que a est racine de Téquation (p'(a:)=0 et de ses (n — 2) premières dérivées, et, par suile, en vertu du théorème précédent, que o est n — 1 fois racine de réquation (p'(x) = 0.

310. Remarqub. n résulte du théorème précédent que si Ton décompose le premier membre d*une équation et sa dérivée en facteurs simples correspondants à Wurs diverses racines, à chaque racine multiple a, entrant n fois dans l'équation, correspondront, dans la dérivée, n — 1 facteurs égaux à {x — a), en sorte que , si une équation <p (j?) = 0 admet n racines égales à a , |} racines égales kb^q racines égales à (t, r racines égales à d, etc., on a

<»(a;) = (a!? — a)*(a? — 6)»'(a? — c)«(x — dy...,

^\x)={x—aT'^{x—bf-*{x^ef'^{X'-dr'"'j

et, par suite, ^{x) et ^'(x) admettent les facteurs communs (a?— a)"-S (a?— *;p-S (a?— c)«-*, {x—dj-^. Je dis de plus qu'ils n'en admettent pas d'autres, car, s'ils admettaient un facteur commun (a? — A;), k serait racine de ©(a?) et de 9' (a?), et, par suite (308), racine double de <p(a?).

THÉORIE DBS RAGNES ÉGALES. 333

Réduction d'une équation qui a des racines égales.

31 1 . Les théorèmes précédents permettent de ramener la résolution d^mie équation qui a des racines égales, à celle de plusieurs autres équalions qui n'en ont pas. Considérons, en effet, une équation cp(a:)=0, et concevons son premier membre décomposé en facteurs correspondants à ses racines. Soient Xi, Xt, Xs, •X^les produits des facteurs de chaque degré de multiplicité, pris chacun une fois seulement, savoir : Xi le produit des facteurs simples; Xs le produit des facteurs qui correspondent à des racines doubles, pris chacun une fois seulement, et ainsi de suite; en sorte que Ton ait

Le produit des facteurs communs au polynôme X et à sa dérivée , est , d'après les théorèmes précédents ,

Le produit Pi des facteurs communs à P et à sa dérivée, est de même

Pl=X8X4«.

Enfin , le produit Pi des facteurs communs à Pi et à sa dérivée est

Si l'équation proposée n'admet pas de racines dont le degré de multiplicité surpasse 4, Pî n'aura plus de facteurs communs avec sa dérivée, sinon il faudrait continuer à opérer de la même manière. Maintenant, en divisant chacune des équations précédentes par la suivante, il vient :

"p" — AiAïAsA* ,

p- = XsX^ , •

Pl = X4 •

334 THÉORIE DIS ftliClNES ÉGALES.

cl en divisant chacune de celles-ci par la suivante:

9(^)Pi y PP»Y Pi-Y P-Y

On pourra donc, par de simples divisions, trouver Xi, Xj, Xj X4, et en résolvant les équations,

Xi = 0, X,=0, X, = 0, X4 = 0,

qui n'ont plus de racines multiples, on obtiendra séparément le&racines simples, doubles, triples, quadruples. . . de la proposée.