pa? = (a: + 1) . 9' (a?) —2 (a;*— 4a

Par conséquent, le facteur commun à <pa? et <p'a? est a? +3/ — 3 est donc une racine double ; on trouve , en effet , par la division

<fx = (x + 3)» . (a?» — 2a? + 6) .

Exemple II. Soit encore Téquation

<pa? = a?«— 10a?» + 15a? — 6 = 0, on a f 'a?= 5(a?* — 4a? + 3).

Les divisions consécutives donnent :

THÉORIE DBS lACINBS ÉGALES. 335

le plus grand commun diviseur entre ^(x) et <p7^), est donc (X — 1)'; la seule racine multiple est donc a?=l, qui figure trois fois dans la proposée, et Ton a, en effet,

<pa? =ss (a? — 1 )• . (a:* + 3a: 4- 6).

Exemple III. Soit Téquation

çiT = aj« — 7x^ + 16ar* — 40ic* + 48a? — 16 =: 0,

la première dérivée est

<p'a? = 6a?» — 35a?* + 60a:' — 80ar + 48 .

Nous avons déjà trouvé (50S) que le produit des facteurs communs à ces deux fonctions est

a?«— 6a;* + 12a? — 8, ou (a? — 1)\

Donc, réquation proposée admet quatre racines égales à 2; on a, en effet,

ça? = (a? — 2)* . (a;* + a? — 1).

Exemple IV. Soit enfin Féquation

ça? = a?«— 10a?» + 47a?* — I40a?« -f 271a?* — 330a? -f 225 = 0,

sa dérivée est

ça? = 6a?» — 50a?* + r88a?» - 420a:' + 542a? — 330.

Les divisions successives donnent :

6 . ça? = c'a? . (a?— I) -f V (^ — lûa?» + 36a?« — 70a: + 75) c'a: = 2(3a?+5)(a?*-10a?»+36a?«-70a:+75)+7a(a^-5a:«+lla:-15) a?*— 10a?» -h 36aî*— 70a?4- 76=(a?»— 5a?»+ lia? — 15)(a:— 5).

Le produit des facteurs communs aux deux polynômes sera donc

Si nous divisons ce produit par sa dérivée après l'avoir multiplié par 3, nous trouvons

3a;«— 10a? + ll

ou, en multipliant de nouveau par 3 ,

— 15ic» + 66a?— 135 16a? + 80;

ou, en supprimant le facteur 16, le dernier reste peut être remplacé par

sans avoir besoin de continuer Topération après cette simplification, on voit que 3a;* — 10a? -[-11, n*est pas divisible pai* a?4-ô> car il ne s'annule pas pour a? = — 5: le commun diviseur

ç^ —ha? '\'\\x—\h

entre ^{x) et sa dérivée, n*a donc pas de facteurs multiples, et, par suite, 9 (a?) a seulement trois racines doubles, dont les valeurs sont les racines de l'équation

a;» — 5a;* + 1 la?— 15 = 0.

RÉSUMÉ

304. Définition du plus grand commun diviseur de deux polynômes. Moyen de l'obtenir par un procédé analogue à celui que Ton suit pour deux nombres. Remarque importante sur Tintroduction et la suppression des facteurs numériques dans le cours des divisions à effectuer. — 305. Quelques exemples. ^ 306. Recherches des racines communes à deux équations. — 307. But de la théorie des racines égales. — 308. Condition nécessaire et suffisante pour qu'une équation admette n fois la racine a. — 309. Autre forme de cette condition. — 310. Produit des facteurs communs au premier membre d'une équation et É sa dérivée. ^311. Réduction d'une équation qui a des racines multiples à plusieurs autres qui n'en ont pas. — 312. Quelques exemples.

EXERCICES