MULTIPLICATION ALGÉBRIQUE

Multiplication des polynômes.

iS. Le produit de deux polynômes peut toujours être remplacé par.un,polynome unique, dont nous allons indiquer la loi de formation , et que Ton nomme souvent leur produit effectué.

Nous commencerons par former le produit d'un polynôme o+&+^» V^^ ^^ nombre quelconque m et, pour plus de clarté, nous distinguerons plusieurs cas.

1" m est entier. L'opération revient alors à ajouter m polynômes égaux à a-j-ft+^ ^t, d'après la règle d'addition, le résultat contient chaque terme pris avec son signe et répété m fois , on a donc

(a+6 — c)w = wa-j-m& — me.

2" m est fractionnaire de la forme - (p étant entier). L'opération revient à diviser le polynôme par p et le résultat est évi-

deniment

Cl .b c

car cette expression multipliée par le nombre entier jp reproduit, en vertu de la règle précédente, a + ô+c.

On voit que le produit peut s'écrire, comme dans le cas précédent,

ma-\'mb — ^c.

3" m est fractionnaire et de la forme -. Le produit doit alors

contenir p fois la q"^ partie du multiplicande; et pour l'obtenir il faut diviser le multiplicande par q et multiplier le résultat par p.

Le multiplicande divisé par q , devient

et le produit de ce résultat par p, est

pa , pb pc 'Tr\ "7" "^ T" >

MULTIPLICATION ALGBBRIOUE. 17

c'est-à-dire ma + wft + *«(? ;

donc, dans tons les cas , pour multiplier un potynovie par un nombre quelconque , il faut multiplier chaque terme séparément par ce nombre^ en lui conservant le signe qu'il avait primitif vement.

16. Nous pouvons, actuellement, nous occuper de la multiplication des polynômes.

Considérons deux polynômes dont tous les termes soient séparés par le signe -f .

Soit

à multiplier par

a,bj Cf Pyq\ r désignant des nombres quelconques qui peuvent être eux-mêmes représentés par des expressions algébriques plus ou moins compliquées.

Pour multiplier p+g-j-r par un nombre quelconque, il faut d'après ce qui précède, multiplier ce nombre par p, puis par 9, puis par r, et ajouter les résultats; par conséquent on a

(p+g+rXa+b+c)={a-\.b + c)p+ia+b+c)q-\-{a'\-b+c)r]

mais pour multiplier par p une somme a-f- b-^-c^ il faut, comme on Ta vu, multiplier chaque partie par p, on a donc

{a-\'b'\-c)p=::ap'\-bp-\-cpf

et de même

{a+b+c)q^aq+bq+cq ,

(a-f-ft4-(?)r=ar-}-ôr-|-(T :

et par suite

(a'\-b'{-c)(p'^q-\'r) = ap+bp+cp+aq + bq-\-cq

'\-ar'\'br'\'cry

résultat que Ton peut énoncer ainsi :

Le produit de deux polynômes, dont les termes sont positifs, est égal à la somme des produits obtenus en multipliant tous les termes du multiplicande par tous ceux du multiplicateur.

17*. Supposons maintenant que les deux polynômes à multiplier^ contienneoit des termes précédés du signe — .

18 MULTIPLICATION ALOftBRiQUB.

Désignons par A l'ensemlJe des termes qui sont précédés du signe ~f dans le multiplicande, et par B l'ensemble de ceux qui sont précédés du signe — ; par P et Q les sommes analogues dans le multiplicateur; il faul multiplier

par

A, B, P, Q étant quatre polynômes à termes positifs. Or, pour multiplier une différence P— Q par un nombre quelconque , il faut, comme on Ta vu(iS), multiplier ce nombre par P, puis par Q , et retrancher las résultats, on a donc

mais on a comme on l'a yu (15)