CHAPITRE XXin

RAdMES COMMEXSCAABLES

513. On peut obtenir par des essais réguliers et fort simple s les racines commensorables d'une équation à coefficients cornmensnrables.

Nous commencerons par montrer que cette recherche se ramène à celle des racines entières, et pour cela nous établirons le théorème suivant :

Théorème. Une équation de la forme

[1] af + Aiaf-*+A.a?-« + ... + A« = 0,

dont le premier terme a pour coefficient l'unité , et dont les autres coefficients sont entiers , ne peut avoir de racine commensurahle fractionnaire.

Si:» en effet , -r est racine de Téquation [1] , on a

d'où Ton déduit , en multipliant tous les termes par 6^* ,

ou Ç = - f^*^*^' + A,a*^«ô + . . . + A«ô"*-*) .

Si Ton suppose , ce qui évidemment est permis , que la fraction T ait élé réduite à sa plus simple expression, a et 6 sont

RACINES GOMMENSURABLES. 339

premiersenlreeuxjafraclion -T- est par conséquent irréductible el ne peut être égale à un nombre entier; il est donc impossible qu'elle soit égale au second membre , dont tous les termes sont entiers, et par conséquent il est impossible que

réqualion [1] admette une racine de la forme ?. Les seules

racines commensurables qu'elle puisse avoir sont doue entières.

514. Une équation h coefficients entiers étant donnée, le théorème précédent permet de la transformer de manière que toutes les racines commensurables deviennent entières.

Soit, en effet, l'équation

Aa5" + Aia?"^*+ ... + A«»ia7 + A«»=0,

dans laquelle on peut supposer que A, Ai, ...A«, soient des nombres entiers, car il est toujours facile de chasser les dénominateurs en multipliant tous les termes par leur plus petit

multiple commun. Posons x =^y y étant une nouvelle incon*

nue qui, évidemment, devra satisfaire à l'équation

ou , en multipliant les deux membres par A"^S

îT + Aiy«-* + A, Ay«-« -f- . . . -f- A«» A«-* = 0 ,

équation dont les coefficients sont entiers et dont le premier terme y~ a pour coefficient l'unité ; les valeurs commensurables de y sont donc toutes entières. Il est évident d'ailleurs qu'elles correspondent aux valeurs commensurables de x , car la relation û? = Y> Pï*ouve que x étant commensurable , il en est de

même de y.

Si rious pouvons obtenir les racines entières de l'équation en y, d'après ce qui précède, nous aurons toutes les racines corn-mensurables de l'équation en x.

Recherche des racines entières.

518. Nous avons vu comment la recherche des racines commensurables peut se ramener à celle des racines entières. Il nous reste donc à montrer comment on peut obtenir les racines entières d'une équaiion à coefficients entiers.

Soit réquation

[1] x"^ + A,a?«»-» + A,aî*^« + . . . -f A«» = 0 ,

et a une de ses racines entières, le premier membre doit être divisible par x — a, représentons le quotient qui est un polynome du degré m — 1 , par

Pi, Pt ... Pm-i étant évidemment des nombres entiers, carie premier terme du diviseur a? — a ayant pour coefficient l'unité , la division ne peut introduire aucun dénominateur.

En écrivant 'que le dividende est le produit du diviseur par le quotient , on aura identiquement

[2] (a? — a)(a:«-» + Pirp*»-«+ ... + P«iaî + P«.0=^" + Aiaf»-*

+ A,**^* + ... -f A^^ia? + A«.

En effectuant les opérations indiquées dans le premier membre , et égalant les coefficients des mêmes puissances de a; , il vient

[3] — P«-ia = A«,

Pm-l — Pm- 1* = Am-i , P«-l -" Pm-8« ^ Afli-t 9

^ P,— Pia = A„

Pj— a = A,.

Tous les nombres qui figurent dans ces formules étant entiers , la première équation prouve que a doit être un des diviseurs

d(î Am, cl que le quotient — ^ est égal à — Pm-i-

La seconde équation peut s'écrire

— Pm-1« = Am-l — Pm-1 = A„-i -^ \

elle prouve que « doit être un diviseur de la somme A^^^i-f —

et que le quotient est — P«,-^.

La troisième équation peut s'écrire

Am-1+— ^ Pm-S^ = Am-S "~ Pni-ï = Am-l A •

Elle prouve que a doit être un diviseur de la sonuinà.

A«.t+^ Am-aH , c'est-à-dire de la somme obtenue en ajoutant Am-8 au quotient précédent, et que le quotient est — P«-s.

On peut continuer ainsi jusqu'à la dernière équation, qui prouiera que le dernier quotient — Pi, augmenté de Ai doit être divisible par a et donner pour quotient — 1.

Ces conditions sont nécessaires et suffisantes pour que a soit racine ; car si elles sont remplies , on pourra trouver des nombres Pm-i, Pm-i ... Pi, qui rendent identiques les équations [3], et, par suite , le premier membre de la proposée sera divisible par x — a.

On peut remarquer que les opérations à l'aide desquelles on s'assure qu'un nombre a est racine , font connaître les coeffl- * cients du quotient de la division du premier membre par x — «. Ces coefficients P^-i, Pm-ti ... sont égaux, en effet, aux quotients changés de signes des différentes divisions dont la réussite est nécessaire pour que le nombre a ne soit pas rejeté. ' ^

En résumé , pour trouver les racines commensurable^ d'une équation telle que [1], on cherchera d'abord les diviseurs entiers, positifs ou négatifs, du dernier terme : eux seuls peuvent être racines. Pour essayer Tun de ces diviseurs a, on divisera le dernier terme Am par a, et Ton ajoutera au quotient le coefficient Am«i : la somme devra être divisible par a. On formera le quotient ; on y ajoutera A^-t : la somme devra encore être

342 BACIffBS GOMMBNSUBABLSS.

divisible par a ; et en continuant ainsi , on devra trouver un dernier quotient qui , ajouté au coefficient du second terme , donne pour somme — «.

31ft. On peut diminuer le nombre des essais à faire par la remarque suivante :

Si a est une racine de Téquation

le premier membre de cette équation est divisible par x — a, et les coefficients du quotient sont tous entiers , ainsi qu'on l'a exposé plus haut. Si donc on attribue à x une valeur entière quelconque, la valeiu* numérique du premier membre de [1] sera divisible par la valeur numérique de a? — «. Les valeurs les plus simples que Ton puisse attribuer à x sont 1 et — 1. En nommant Q et Qi les valeurs correspondantes du premier membre de [1]> on ne devra essayer a que si Q est divisible par 1— a, et Qi par — 1— a, ou, en changeant le signe, par 1 -f a.

Application de la méthode précédente.

517. Voici la manière la plus avantageuse de disposer les calculs :

Al , Aj , ... Afn— s , Am i , Al

* 1 ) •• • Tm— 8 » * «i— a 9 "m— 1

J'écris sur une ligne horizontale les coefficients de l'équation proposée, et dans une colonne, à droite, le diviseur à essayer «. Sur la même ligne que a, et en allant de droite à gauche, j'écris .^ au-dessous de A«, Am-i ..., les quotients cAon^^s de signe P«i, P«.^ ..., calculés comme il a été dit (518). Si tous ces quotients sont entiers, et si, en outre, le nombre écrit sous Ai est -f 1» « est racine , et Pi , Ps ...., Pm-t sont les coefficients de l'équation débarrassée de la racine a. 11 n'y aura donc plus alors qu'à opérer sur cette seconde ligne comme sur la première. Si quelques-unes des divisions ne peuvent se faire, on passera à un autre diviseur.

EACINB8 GOMMBHSURIBLIS. 343

Exemple. f{x) = a;* — 2x' — 19a;* + 68a: — 60.

2 est racine

3 est racine — 5 est racine

60 admet 24 diviseurs ; mais la marche même du calcul en exclut un grand nombre.

Je commence par essayer '\-\ et — 1 , en les substituant directement à la place de x : aucun d'eux n'est racine, mais ce premier calcul m'apprend que /*(1)= — 12 et que /"(— 1)= — 144. Dès lors je ne dois , parmi les diviseurs positifs , essayer que ceux qui diminués de 1 divisent 12, et qui augmentés de 1 divisent 144; et parmi les diviseurs négatifs, ceux dont la valeur absolue, augmentée de 1 divise 12, et diminuée de 1 divise 144.

Le diviseur 2 satisfaisant à ces conditions , je l'essaye : je trouve que 2 est racine , et que l'équation, débarrassée de cette racine, est

Comme 2 divise 30, je l'essaye de nouveau, et je continue de la même manière, en n'opérant que sur les diviseurs qui satisfont aux conditions précédentes , et qui en outre divisent le terme tout connu de la dernière équation simplifiée.

Tout calcul fait, on trouve que l'équation proposée a pour racines 2, 2, 3, — 5, et que son premier membre est égal à

RÉSUMÉ

513. Si le premier terme d'une équation a pour coefficient l'unité, et que les autres coefficients soient entiers, les racines commensurables sont/ toutes entières. — 514. Le théorème précédent permet de transformer une équation à coefficients rationnels en une autre dont les racines soient entières. — 51 i>. Recherche des racines entières. — 516. Théorème qui permet de diminuer le nombre des essais. — 517. Application de la méthode à un exemple.

EXERCICES

I. Chercher les rdcines commensurables d'une équation sans les ramener préalablement à être entières. Montrer qu'en désignant par T une telle racine réduite à sa plus simple expression , a doit être diviseur du dernier terme , et b diviseur du coefficient du premier terme. Chercher par quels essais analogues à ceux qui ont été indiqués poiu: les racines entières , on

peut vérifier que t est racine.