NOTIONS SUR LA THËORIE DES DIFFÉRENCES

318. Si l'on considère une suite de nombres qui se succèdent suivant une loi quelconque, les différences obtenues en retranchant chacun d'eux de celui qui le suit , forment une nouvelle suite dont les termes se nomment les différences des termes de la première.

Ainsi, la suite proposée étant représentée par

[1] yo, yi, Vu y8...yn-i, yn\

In suite des différences sera

p] yi— yo, yi— yi, ya— yï...yn— yn-i;

yi— yoCst Xdidifférence deyo; yi-yi, la différence de yi ; yn—yn-i la différence de yn-i. Pour former la différence de y» il faudrait connaître un terme de plus dans la suite [1].

Pour désigner les différences on se sert souvent du signe A.

Ainsi , Ayjk désigne la différence yk+i— y». D'après celte notation les termes de la suite

yo, yi>y« — yn

auront pour différences

Ayo, Ayi, Ay, ...Ayn-i.

519. Une suite quelconque de nombres étant donnée , leurs différences forment une nouvelle suite ayant un terme de moins que la première. L'on peut opérer sur celte suite comme sur celle qui lui a donné naissance et former des différences des différences, que Ton nomme des différences secondes. On les désigne par le signe A'.

346 tandis scb la tbéoiii dis MFrtREHCcs.

Ainsi , étant donnée la suite

les différences premières senmt désignées par

et les différences secondes

Ayi— Ay^ Ay,— Ayi ..., Ay^— Ay^,

le seront par . :A% A'yi, ... A*y»-f

Cette nouvelle série ayant évidemment un tenue de moins que la précédente , et , par suite , deux termes de moins que la

proposée.

520. Si l'on opère sur la suite des différences secondes comme on Ta fait sur la suite proposée, on formera les différences des différences secondes que Ton nomme des différences troisièmes et que l'on désigne par le signe A'.

Ainsi , les différences

A'yi — A»*o, AV« — ^Vi • • • ^V*-4— ^*y»-*

se désignent par A^o, A*yi ... A^y,,^

On conçoit que Ton peut continuer ainsi indéfiniment et former les différences quatrièmes, cinquièmes, etc., qui se désigneront par les signes A^, A'... le nombre de ces différences n'étant limité que par celui des termes de la suite proposée. Ainsi , deux termes ne donnent lieu qu'à une différence première , et il n'y a pas lieu de considérer leur différence seconde. Trois termes donnent lieu à deux différences premières et à une différence seconde, il n'y a pas lieu de considérer leur différence troisième. En général, m termes donnent lieu à m — 1 différences premières, à m— 2 différences secondes ... aune différence m — 1"*, il n'y a pas lieu de considérer leur différence m"». Si une suite est illimitée on peut considérer des différences d'un ordre illimité.

NOTIONS 8UR LA Tlioail DES DIFFiiOfOn. 347

Usage des différences pour la formiUon dei earréi «t des oyliai.

521. Nous commencerons par montrer par deux exemples simples de quelle utilité peut être la considération des différences.

Considérons la suite des carrés des nombres naturels :

les différences premières sont : ^

et les différences secondes

|t5j ^, <6, Z, ^, Z, Iê^ JLy II •••,

sont toutes égales entre elles. La démonstration est tellement simple que nous croyons pouvoir nou» dispenser de la donner ici.

D'après cette remarque , si l'on voulait former la table des carrés des nombres naturels on comircncerait par écrire la suite [2J,

puis le premier terme de la suite des carrés, qui est 1 , et il est évident que chaque carré s'obtiendrait du précédent en ajoutant le terme correspondant de cette suite [2]. Ainsi, on dirait 3 et I, 4. 4 et 5, 9. 9 et 7, 16; etc.