MOTIONS SUR LA THÉORIE DES DIFFÉRENCES

Remarque III. L'expression générale de a^^

est, comme nous l'avons dit, un polynôme que Ton peut ordonner suivant les puissances de x^. Si Aa?* représente le premier terme de F{x), il est facile de voir que le premier terme de Ay© sera ?wAa:o'*"*A, et que, par suite, Ayo, Ayi, Ayj..., s'obtiendront en substituant à x les valeurs rro, a^o-j-A, Xo-j-^h..., dans un polynôme dont le premier terme est mhAx'^K En appliquant à ce polynôme le résultat trouvé pour F(x\ on verra que les différences premières de ce polynôme, c'est-à-dire les différences secondes de ¥ix) peuvent s'obtenir en substituant à x les valeurs Xq, Xfi-\-h..., dans un polynôme dont le premier terme est m(m — l)AA'x"*-*. On verra de même que le premier terme du polynôme qui donnerait les différences troisièmes est m{m — l)(m — 2)AA'a:'*^. Enfin, la différence m""* qui se réduit à un seul terme puisqu'elle est indépendante de Xo^ est

in{m— l)(m— 2)(m— 3),.. îAA^

Applicalion à un exemple.

326. Si nous considérons le polynôme du troisième degré [1] y=:af'{'px*'{'qX'\'P^

nous trouverons sans peine

[21 Ay = Zx^h+lAV+tph)x+ h*-{-ph* ^- qh , [3] AV = 6xV+6h*+ 2ph\ [4] àfy= 6A»,

et pour obtenir les valeurs de Ay^, Ayi , Ayi ... AVo > A»yi..., il suffira de remplacer dans le second membre des formules [2] et [3] X par a?^^, a?o+*> ^'c.

Si l'on voulait former les valeurs numériques de la fonction y et de ses différences, il faudrait procède;* comme on Ta indiqué pour foruier le tableau des cubes.

3Ô6 NOTIONS sua la tuéoris des différences.