Prenons pour exemple

et formons les valeurs que prend ce polynôme pour des valeurs entières de la variable. Si l'on fait successivement â?= — 1, x=-Oy x = lf on trouve pour valeurs correspondantes de y, y= — 13, y =— 1, y =1, dont les différences sont 12 et 2, la différence seconde est — 10. Quant à la différence troisième de y, on sait qu'elle est égale à 6. On disposera ces résultats de la manière suivante :

àfy

et Ton remplira ensuite les différentes colonnes en remarquant que chaque term^de Tune d'elles (la première colonne exceptée) est égal à celui qui est au-dessus, augmenté du terme correspondant à ce dernier dans la colonne placée à sa droite. Celte remarque permet évidemment de prolonger les colonnes dans les deux sens, on trouve ainsi

àfy

Remarque. On voit, par Texemple précédent, que, pour

NOTIONS SUR U THÉ0R1S DSS DIFFiRSNCVS. 357

calculer les valeurs d'un polynôme du troisième degré qui correspondent à des valeurs entières de la variable, il suffit de connaître celles qui correspondent à trois nombres entiers consécutifs — 1, 0, fl ; en se fondant sur ce que la différence troisième est constante, il est très-facile d'obtenir, par de simples additions, les valeurs suivantes.

Si le polynôme proposé était du quatrième degré, la différence quatrième serait constante, et pour former la série de ses valeurs, il suffirait de connaître quatre valeurs consécutives. Il en faudrait cinq pom* un polyiiûme du cinquième degré, et ainsi de suite.

Sur la manière de former les tables numériques.

388. La considération des différences est fort utile dans la construction des tables de toute espèce. Il arrive, en effet, presque toujours que, dans une série de nombres résultant d'une loi régulière et suffisamment rapprochés les uns des autres, les différences tendent de plus en plus vers l'égalité, à mesure que leur ordre s'élève. En négligeant des quantités fort petites, on pourra, à partir d'un certain ordre, leur supposer, dans un certain intervalle, une valeur invariable, et construire la table comme s'il s'agissait des valeurs d'un polynôme.

Ne pouvant donner ici la raison de ce fait général, nous nous bornerons à le développer sur deux exemples.

Exemple I. Si l'on pose

y=logx,

on aura Ay =log (x+h)— log (x) = log (l + - j AV = log (a? + 2A) — 2log (57 4- A) -f- log a?

=l«e(.+^)-«og(,+^)

M8 NOTIONS sut LÀ THiOlII DIS DirrÉUNCIS.

A«y=log(ar+3A)— 3log(x+2*)+8Iog(ar+*)— loga

="og(.+ï)-3i»g(i+|)+aog(.+|)

=iog<?r-^— etc.y

Si l'on suppose, par exemple, «=10000 et A=l, il Tiendra

^y = 0,000043427276883 , b}y = 0,000000004342076 , AV = 0,000000000000868 ,

et si Ton ne voulait avoir les résultats qu'avec dix chiffres décimaux, on pourrait négliger longtemps les différences du quatrième ordre, et procéder comme si la différence troisième était constante. On formera donc successivement les colonnes des différences troisièmes, secondes, premières, comme au n° 327, d'où Ton déduira les logarithmes des nombres IdOOl, 10002, 10003, en parlant de celui de 10000, qui est 4,000000000000000. 11 faudra vérifier les résultats au moyen de logarithmes obtenus directement à des intervalles éloignés. La méthode des différences devra les donner exacts avec le nombre des chiffres que Ton veut conserver. Lorsque le dernier de ces chiffres cessera d'être exact, on calculera de nouveau à priori, au moyen des formules (328), les différences Ay, A*y, A'y , et l'on se servira de ces nouvelles valeurs comme des précédentes.

Exemple IL Soit proposé de calculer à 7 décimales exactes une table des logarithmes des siqus de 10 en 10 secondes , depuis 72« jusqu'à 72« 1' 40".

Nous savons que

sin72<^=iV^10+2v^5 = 0,9510565, cos 79P -rr { V^6^-2i/5 = 0,30901 70 ,

NOTIONS SUR LA TUtORIE DES DIFFtaiNCBS. 359

donc , en prenant les logarithmes de ces deux valeurs et ajoutant, comme on le fait toujours, dix unités à chacun d'eux,

log sin 7V = 9,9782063256 , logcos72« = 9,4899824.

Reprenons les formules précédentes :

y=loga?,

Ay=log.(^-^| + ...),

A«y=:loge(^,— ...).

Nous cherchons ici log sin cp, <p étant égal à 72^ ; donc

â?= siuf.

Déterminons maintenant l'accroissement du sinus, correspondant à un accroissement de l'angle de lO''.

On a sin(a?+A)=sin((p+l(r),

=sin<p. cosl(y+cos<p . sin 10".

Mais rare 10"= j^5=gJ2-= 0,00004 84813... < A.

Or, comme sina?>a? — -^,

\é sinus 10^' ne diffère de son arc que d*une quantité moindre que i ^Yôi) ^^ ^^ °^^^°^ ^^ ïô«'

De plus cosa:> 1 — ^î

donc, le cosinus de 10" ne diffère de l'unité que de moins que ifïQs) ou que d'une unité du neuvième ordre.

969 wvnrns om L4 nioui sb nawÈMXBCtB.

S-yn^ {oinTi'vnf donc ècnre Féquation ci-dessos,

nuûf

di^DT, a«ôc une approTîmatkm de -— 2,

L'Aodo 3 e?4 (*Z!i\ H *T: dviac. en négligeant £",

iT, Kir Icicf =«,637 7MS

Cli>càn"*^^=<l,<ai T9S7

donc lcMrAy=4,SS5 1S5S

et Af =0,000 006841

Coiime nciios calodoK lesi Tilenrs de log sîn f à 7 décimales

eixles^. lesTadeais de -?« p el, par soile, de AV* n^infloent

p1a> >ur le résolut que ncvuf cberrbMis; et la fonction tninscendanle lo^sina, dans les limites indi(inées, peut être considérée comme mie fi>n:tiL>n akrébriqœ dn premier degré,

fonction qui ansm^ite de j^ euiiron poor diaqne 10^ d*ang-

mentalion de Fangle 9.

Poor être assuré de Texaciitade da dernier rësoHat, il faudra calculer à 8 dédmales et former une progression arithmétique, dont le premier terme est

logsinT2f' = 9,978 i0632...

et dont la difTérence est 684. En nous bornant aux quatre dfr^rniers chiffres des logarithmes. la proffression sera

Supprimant le dernier chiffre et ajoutant une unité de