CHAPITRE XXVI

329. L'interpolation consiste à insérer, entre les termes d'une suite, de nouveaux termes assujettis à la même loi. Ce problème est quelquefois très-facile lorsque la loi des termes de la suite est connue. C'est ainsi que entre deux termes d'une progression , on peut insérer, par un procédé fort simple, un nombre donné de moyens. Si Ton considère, au contraire , des nombres quelconques dont la loi soit inconnue, le problème de Tinterpola* tion devient complètement indéterminé et pour le résoudre , il faut imposer aux termes inconnus une condition qui fasse disparaître rindétermination. Cette condition est le plus souvent que les différences d'un certain ordre seront égales à zéro. On en a Yu un exemple dans la détermination de& logarithmes d'un nombre non compris dans la table ; admettre , en effet , comme on le fait, que l'accroissement des logarithmes soit proportiomiel à celui des nombres, c'est admettre que, pour des accroissements égaux des nombres , les accroissements des logarithmes sont aussi égaux , ou , en d'autres termes , que la différence première des logarithmes soit constante, et que, par suite, la différence seconde soit nulle. Dans le cas des logarithmes , les tables permettent d'ailleurs de vérifier qu'il en est à très-peu près ainsi pour des accroissements du nombre égaux à l'unité, et Ton conçoit qu'il doit, à fortiori , en être de même pour des accroissements plus petits; nous avons d'ailleurs montré (328) que les différences secondes des logarithmes diminuent rapidement. Celle loi s'applique du reste à toutes les fonctions ; lorsque la variable croit par degrés égaux de plus en plus petits , les différences de la fonction diminuent d'autant plus rapidement que leur ordre est plus élevé. Lors donc que , dans la construction d'une table, on apercevra que les différences d'un certain ordre deviennent

sensiblement nulles , on pourra admettre qu*il en serait à fortiori de même pour des accroissements plus petits. Et alors le problème de l'interpolation peut s'énoncer ainsi : Connaissant les valeurs Uq, Ui, Ut,...Un d'une fonction qui correspondent à des valenrs Xq» ^o + h> Xo+2h ... Xo+nh> de la variable; en admettant que y pour des accroissements égaux quel'

conques dex^ les différences (n + 1)""' ^ /fl fonction soient égales à zéro , trouver les valeurs de cette fonction qui correspondent à une valeur donnée de x comprise entre Xq et Xo-f* nh.

Formule de Newlon.