Reprenons la formule

[1 ] w^ = î^o -}- n^uo + '^ '^ AX + . . . +

+ ÛY—i, ^""^

qui a été démontrée (324).

Supposons que la dernière valeur de a?, pour laquelle u est connu, soit représentée par a:,, de telle sorte que Ton ait

et, par suite , n = ^^"7^^ ,

et la formule [1] devient

/Xj— Xo\ /a?t— a?o A

[21 i^n=t^o+^y^H+^ ^ ^\^^ U^Uo+...

/Xj — Xq a /Xj'-Xo ^ . \

Si , dans le second membre de cette formule on remplace Xi par la lettre indéterminée a?, on formera une fonction (p(a?).

x — Xq/x^Xq a

[3] cp(^)=t/,+î=Î2Ati,+ ^-A^ /a«Wo+...+

x—Xo/xj—Q^ A fx — Xp , A

qui, évidemment, prend la valeur u^ pour x = Xi^ c'est-àdire pour x=XQ-^nh; je dis de plus que si Ton y donne hx les valeurs a?o> ^o+*> a?o + 2A, ... x^-{-{n—l)hy ^{x) deviendra successivement u^, tii, i^ ... t^n-i» et comme d'ailleurs cette fonction est un polynôme de degré n dont la différence n"« est constante (524), elle remplit toutes les conditions imposées par renoncé, et est, par suite, la solution du problème proposé.

Faisons, en effet, dans la fonction cp(â?),

x=iXo-{'ph ,

cette valeur pouvant représenter toutes les autres si le nombre arbitraire p devient successivement 0, 1 ... n.

On aura

[4] <p(^o+JpA)=«o+pA^+ ^/"^ ^X+ ••• +

' et les termes suivants disparaissent , car — r— 2 devient égal

à j) et , par suite , l'un des termes de chaque facteur du numérateur, à partir du p + l"% devient égal à zéro.

Or, le second membre de la formule [4] est (324) l'expression detfp, et, par suite, la fonction <^(x) devient, comme nous l'avions annoncé , égale à u, quand on fait

x = x^ + hp,

et elle remplit toutes les conditions de l'énoncé.

Remarque I. En écrivant, comme nous l'avons fait, la formule

I A I w.n — 1 ., , , n.(n — l).(n — »4-1)a«. Un=u+n\Uo+ ^^ AX+»«>-| ^ l.2...n ^''

il faut avoir bien soin de ne pas supprimer les facteurs communs aux deux termes des derniers coefficients. Ainsi , par

exemple, le coefficient de 1% est Tunité, mais on doit récrire

qui fournit par la substitution de

à n , dans le numéra-

teur, un polynôme bien différent de l'unité.

331. Remarque II. La fonction <p(a?), que nous avons trouvée (330) est le seul polynôme de x qui puisse résoudre Iç problème tel qu'il a été posé. En effet, la différence n-f !«• devant être nulle d'après l'une des conditions, le polynôme ne peut avoir un degré plus élevé que le n"»s Or, un tel polynôme étant désigné par ^x) et devant prendre les mêmes valeurs que ç(a?), savoir u^, Wi, «t. ..!<«, pouraî = a?o> a?ii a?i. ..«?„, il faut que la différence <f(x) — ^x) s'annule n -f- 1 fois , ou en d'autres termes que Téquation

admette au moins n 4*1 racines, x^,Xi...Xn; ce qui exige, puisqu'elle est du degré n, que son premier membre soit identiquement nul, et que, par suite, les fonctions (p et ^ soient identiques.

532. Nous donnerons une application de la méthode précédente.

Supposons que l'on veuille obtenir le logarithme de 3,1415926536 par le moyen d'une table de logarithmes à dix décimales. On regardera les logarithmes contenus dans celte table comme les valeurs données de la fonction u^ les nombres comme celles de x^ et l'on formera le tableau suivant :

At^o

AH«o

366 INTBRPOUTION.

La difTérence quatrième étant extrêmement petite , on peut considérer la différence cinquième comme nulle. Pour appliquer la formule

^iP'"~^it'Qy / JC ""^X,

A l-r— Vlir'-^Ji-Â — ^j^>^

nous devons faire :

Atto= 0,0013809057,

A«Wo=— 0,0000043769,

A»tf , = 0,0000000277 ,