AX

et comme h =0,01 ,

a?o=3,l4, ;r— aîo=0,00159265S6 ; on obtiendra

Avec ces valeurs il sera facile de mettre en nombres la for^ mule [3] qui donnera

w,=log 3,1415926536=0,4971498727.

Fonnule d'iaterpolalioa de Lagrange.

335. 11 existe une autre formule qui fait connaître approximativement les valeurs d'une fonction u , lorsqu'on connaît les va-

leurs Wq, Wi, ... Un qu'elle prend pour des valeurs a?o» ^i» ^t, ••• a^n, de la variable. Nous supposons, comme précédemment, que u soit une fonction rationnelle de x du degré n. Soit donc

on aura Wo =*+ P-^o + Y^o' + ••• + V^d^^

et l'on pourrait déterminer a, ^, ... (x, en résolvant ces équations qui sont du premier degré , mais on se dispense de cette résolution en posant

Xo , Xi , Xt, ... X„ étant des fonctions de x assujetties aux conditions suivantes :

Pour a?=:a?o: Xi, X|, ... Xn doivent s'annuler et X devenir égal à Funité ;

Pour a? = a?i : Xo , Xi , . . , Xn doivent s'annuler et Xi devenir égal à Funité ;

Pour ir=a?,: Xo, Xi , Xs, ... Xn doivent s'annuler et Xi devenir égal à Funité ;

Pour x=zXn: X^, Xi , ... Xn-i doivent s'annuler et Xn devenir égal à Funité.

Il est évident, en effet, que d'après ces conditions, u^ deviendra égal à «<>, tti , ... Un pour les valeurs a?o> ^i » ••• ^n de x.

Xq s'annulant pour les valeurs Xiy xt^ ... x^àe x^ on peut poser

Xo= Ao (x— a?i) (ar— a?j) . . . {x-^Xn) ;

et comme, pour a?=a?o, on doit avoir Xo=t , on posera

^ {Xç^—Xi) {x^ —a?,) . . . (a^o— a?n) ' en sorte que

^ {X—Xx){X—Xt)...{X—T^ ,

(a?o— ari) {x^ — x^ . . . {x^—x^ '

on trouvera de même

* "^ (a?!— jJo) (Xi—Xt) . . . (a?i— a?») '

^ __ jx—x^) (x—Xj) (a?— orQ . . . (x—Xn)

* (xt — Xii){Xt — Xi)...{xr~'X,^ '

la foruuile cherchée est donc

{x—Xi)ix^Xi)...(x^Xn) . (a?— a?o) (a?— a?i) . . . (x—xJ ^0-.(a:o— ^iJ \a?i— Xo)(fl (a; — a^o) (a:— a?i)...(a?— arn-i)

^' "■ ^*(a:o— a:i)(a:o— a:0 • . . [Xo—x^ "^ * (a?i— Xo) (a?i— a?,) . . .(a?i— ar^)

(a7n — Xq) {Xn—Xi). . .(a7„— a?n-i)

Application de la méthode d'interpolation à la représentation exacte d*une fonction entière f(x) du degré m, dont on connaît les valeurs ut, Ui, U3...ii«, correspondantes aux valeurs de x^, Xt-i-h,.,Xt-i-mh delà variable.

554. La formule d'interpolation démontrée (550), a pour but de former une fonction entière de degré m , qui , pour les valeurs aro, aro+A...aro+mA de a?, prenne les valeurs Vo» ^ ••.«^*« Or deux fonctions entières de degré m , ne peuvent être égales pour m+1 valeurs de la variable sans être complètement identiques , car , sans cela , en les égalant , on formerait une équation de degré m admettant m-^l racines; la foioction f{x) indiquée dans l'énoncé est donc identique à la formule fournie par la méthode d'interpolation, et Ton a

{x—x^/x—ar^ A Ix—x,. . .\

+ rXTT^Ï ^^'

on conclut de cette formule que si les quantités tf^, At^ ... À'^t/, , sont positives, en donnant à a? une valeur telle que "7 ^,

— T— 5 — 1 ... — T-^ — 7/1 -f 1 soient des quantités positives , c'est-à-dire en faisant x plus grand que a?o+(*w— 1)A, /(a?) sera

positif. On peut même ajouter qu*à partir de la valeur â7=a7o -{-(m — l)A, tous les termes qui composent le second membre de la formule [À] augmentent avec x , et que , par suite , il en est de même de /'(a?)

^o + (^ — 1)A est, évidemment, d'après cela , une limite supérieure des racines positives de l'équation /'(^)=:0; et les solutions de l'équation doivent êlre cherchées parmi les nombres inférieurs à cette limite.

RÉSUMÉ

529. But de riuterpoiation. Condition arbitraire que l'on s'impose. — 330. Formule d'interpolation applicable à une fonction dont on connaît les valeurs pour des valeui*s équidistanles de la variable. — 331. La fonction trouvée est le seul polynôme entier en x qui puisse satisfaire aux conditions demandées. — 332. Application à un exemple. — 333. Formule d'interpolation de Lagrange^ — 334. Application de la méthode d'interpolation à la représentation exacte d'une fonctioft entière de degré m, dont on connaît les valeurs correspondant à m valeurs équidistantes de la variable.

EXERCICES

h On a observé une planète et les ascensions droites ont été trouvées :

Le 12 janvier 12»» ao' . 0« 3' 25",21,

19 janvier 9*" 0' 0» 1' 28^04,

20 janvier 9»» 17' 0» 2' 28^,67, 24 janvier 8»» 1' — 0» 0' 68^3.

Trouver par interpolation Tascension droite du 22 janvier à midi.

II. Les données restant les mêmes, trouver le jour et Theure pour lesquels Tascension droite a été nulle.