CHAPITRE XXYII

aesoLUTio^r des equatioivs wuiifiaiQUEs.

opérations préliminaires.

S3S. Pour résoudre une équation numérique , il convièiât d'appliquer d*abord la méthode des racines commensurables, et de supprimer les facteurs qui leur correspondent. On doit ensuite appliquer, à Téquation , la méthode eiposée au chapitre xxni f pour la décomposer, s'il y a lieu , en plusieurs autres qui n'aient plus que des racines simples. La première de ces opérations n'a d'autre but que de rendre les calculs plus simples. La seconde est indispensable, elle nous permettra d'affirmer, dans ce qui va suivre , que s'il existe une racine a, deux nombres a — A, a-\-h\ qui la comprennent, étant substitués dans l'équation , doivent donner des résultats de signes contraires, quand h et h! sont suffisamment petits. Il suffit évidemment pour cela qu'il n'y ait aucune racine autre que a comprise a — A et a+A'.

Enfin , avant de commencer l'application de la méthode de recherche que nous allons exposer, il sera bon de fixer, par la règle de Descartes , uue limite supérieure du nombre de ra* cines positives et du nombre de racines négatives que peut avoir l'équation proposée.

Séparation des racines»

556. Après avoir exécuté les opérations préliminaires dont nous Tenons de parler, et dont , je le répète , celle qui est relative aux racines égales est seule indispensable, on substituera, dans le premier membre de Téqualion proposée, les nombres entiers consécutifs : — .. , —4, —3, —2, —1, 0, +1, +2, +3, +4, .... Celte substitution se fera, comme il a été expliqué (52lt),

RÉSOLUTION DES iQDATIONS NUMÉRIQUES. 371

par la méthode des différences , c'est-à-dire que l'on calculera directement un nombre de valeurs conséculives égal au degré m de l'équation , et Ton en déduira leurs différence jusqu'à celle de Tordre m — 1 ; puis, en se fondant sur ce que la différence de Tordre m est constante et égale (525) à A. 1.2. ..m (A étant le coefficient du premier terme) on pourra, par de simples additions , former le tableau des valeurs des différences successives, et enfin de la fonction elle-même. On s'arrêtera, dans ce tableau, lorsque l'un des résultats obtenus sera de même signe et les différences correspondantes seront positives, on sait alors que la valeur correspondante de x, augmentée de (M— -1) unités (354;^, est une limite supérieure des racines.

Si les résultats de la substitution des nombres entiers ne sont pas tous de même signe, il y arrivera, une ou plusieurs fois, que deux résultats consécutifs soient de signes contraireu, et nous pourrons affirmer qu'entre les nombres entiers correspondants il existe une ou un nombre impair de racines.

Si le nombre des intervalles dans lesquels l'existence des racines réelles devient ainsi manifeste , est précisément égal au nombre des racines que le théorème de Descartes permet de supposer, les racines sont séparées, c'est-à-dire que Ton est assuré d'avoir, pour chacune d'elles, deux nombres qui la comprennent et qui n'en comprennent pas d'autres.

Mais s'il arrive, au contraire, que le nombre de ces intervalles soit moindre que le nombre des racines possibles, et, en particulier, si les nombres entiers substitués d^ms le premier membre donnent tous les résultats de mêmes signes, on doit rester dans le doute et recourir à de nouvelles substitutions. Mais ces substitutions ne doivent être faites que dans des intervalles choisis , où elles présentent quelque chance de succès. Voici comment on déterminera ces intervalles.

Après avoir obtenu les résultats de la substitution des nombres entiers dans le premier membre de l'équation proposée, on portera sur une ligne droite, à partir d'une origine 0, des longueurs égales qui représentent les valeurs 1,2,3,..., attribuées à l'inconnue â? , et en sens opposé , des longueurs destinées à représenter les valeurs négatives —1, — 2, — 3 , ... ; puis , par Textrémité de chacune de ces longueurs , on élèvera (sans y apporter aucune précision) une perpendiculaire représen-

RiSOLUTiOiN DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES.

tant la valeur correspondante du premier membre de l'équation proposée y cette perpendiculaire élant portée dans un sens ou dans un autre , suivant que la valeur est positive ou négative. II est évident que si Ton procédait de la même manière , non plus seulement pour les valeurs entières , mais pour toutes les valeurs possibles de a: , on obtiendrait une courbe, et les intersections de cette courbe avec la droite , sur laquelle on porte les a:, feraient connaître les racines, car elles correspondraient à la valeur de x pour laquelle le premier membre de l'équation s'annulant , il faut porter une perpendiculaire nulle) au-dessus de l'axe. Les valeurs particulières du premier membre que nous avons obtenues font connaître des points de cette courbe, et permettent de se faire à peu près une idée de sa forme , et d'en conclure par conséquent les intervalles dans lesquels l'existence des radnes est probable, et où il convient de les chercher par des substitutions nouvelles.

Si, par exemple, en substituant à x les valeurs 0, 1, 2, 3, 4, S , 6 , on trouve i pour le premier membre d'une équation , les valeurs

Les points correspondants, qu'il faudra construire, sont placés à peu près comme il suit :

Et Ton conçoit que si la courbe qui les réunit coupe l'axe des X , ce doit être entre les points 2 et 3. Cependant nous ne sommes nullement en droit d* affirmer que, dans les autres intervalles, il n'y ait pas de racines ; il pourrait même , à la rigueur, en exister entre 5 et 6 ( intenalle où Tinspection des résultats

RÉSOLUTION DBS tQUATIONS NUlfiRlQUBS. 373

précédents n'en ferait certainement pas présumer). Il suffirait que la courbe inconnue qui réunit nos différents points fût suffisamment contournée.

557. Il existe cependant un théorème qui assigne une limite aux irrégularités que peuvent présenter les courbes analogues à celles doht il vient d'être question.

Si r équation proposée est de degré m , une parallèle à la ligne sur laquelle on porte les valeurs de x ne peut , dans aucun cas , rencontrer la courbe en plus de m points.

Soit , en effet , à la distance de cette parallèle à la ligne des x^ elle rencontrera la courbe précisément aux points qui correspondent aux valeurs de x , pour lesquelles le premier membre est égal à d. Or, en égalant le premier membre à un nombre donné , on obtient une équation de degré m qui ne peut avoir plus de m racines. J'ajoute que souvent l'application du théorème de Descartes à cette équation donnera une limite plus petite encore.

Si Ton revient à Texemple proposé dans le chapitre précédent, on voit que l'existence d'une racine comprise entre 5 et 6 exigerait que la courbe pût être coupée en quatre points au moins par une parallèle à la ligne des x^ et que, par suite, l'équation obtenue en égalant le premier membre à un nombre d pût avoir quatre racines positives.

558. Lorsque l'inspection des résultats obtenus aura indiqué les intervalles dans lesquels on présume l'existence des racines, on devra substituer, dans ces intervalles, des nombres équidistants d'un dixième , et il arrivera , la plupart du temps , que ces substitutions montreront assez nettement la forme de la courbe, pour qu'on aperçoive avec certitude les limites qui comprennent les racines , ou que l'on acquière la conviction qu'il n'en existe pas. Nous n'avons rien à ajouter sur la manière de tirer parti de ces résultats nouveaux : il faudrait répéter mot pour mot ce que nous avons dit au sujet de la substitution des nombres entiers.

Pour calculer les résultats de la substitution des nombres, de dixièmes en dixièmes, il faudra procéder comme pour celle des nombres entiers : calculer d'abord un nombre de résultats consécutifs égal au degré de l'équation , former les différences

S74 BiSOLUTION DES tQUiTIONS NCMÉRIQUIS.

qui en résultent, et chercher ensuite les valeurs suivantes par de simples additions.

Simplification relative )i l'équation du troisième de^. 559. Soit un polynôme du troisième degré

<p(a:) = ic* 4" P^ + î^ + ''•

Supposons que l'on ait substitué des nombres équidistants dont la différence soit h ; on connaît la valeur de la fonction ^{x) pour une certaine valeur x=^x^ de la variable, et Ton a formé, de plus, A<p(iro), ^'çC^o)» ^V^o)*

Nous allons donner un moyen simple de calculer les différences qui correspondraient à un accroissement dix fois moindre et que nous représenterons par ^(a?,) , ^<^x^) , ^<p(a?o).

Ona

Pour former AVâ?o) « îl f^^^ prendre la différence du second membre, c'est-à-dire son accroissement quand on y change x^ en â?,-|-A, on aura :

or, <p'(a?J est du second degré , (p"(a?J du premier et ^"^{x^ est constant ; on a donc

<pK+A) -?K)= *?>.)+ j^?>o),

donc , en substituant

AVa?o)=AV(^o) + AV(a?,), on trouvera de même

Aya?o) == h\i^{x,+ A) - ç Vo)] + A VC^o+ h)-ff{x,)] ,

RÉSOLUTION DES ÉQUiTIONS NUlltBIQOSS. S75

et , d'après ce qui précède,

AVa?o)=AV(^o), ainsi donc

AVa:o)= AV(a?o)+ *V(«f) • Si, dans ces formules, on remplace h par jr, on aura :

^<p(^o)=îôQ5?*'(a?,).

A l'inspection de ces formules, on Toit que connaissant les Ta« leurs des différences A , on formera immédiatement i^ffiœ^) qui est la millième partie de Ayj?^}.

sy^o) s^ compose de deux termes , dont le second est précisément sya^o) et le premier est la centième partie de la différence

c'est-à-dire de la différence qui précède Aya^o) dans la série

des A\

Enfin ^Xq) se compose de trois termes ; les deux derniers

sont connus. L'un est la sixième partie de ^\{Xi^ , l'autre est la

A* moitié <ï^ 755/(^0)» c'est-à-dire d'un terme déjà calculé pour

former S* ; quant au troisième terme tjt (p'(a?o) , on remarquera qu'il est la dixième partie de hff'(af^) et que Ton a

Le second membre se compose de trois termes connus et on le calculera facilement.

376 lisoumoif dm tocATioiis mmiRiocm.

En résumé :

g'^'xJ est la millième partie de àhf[x^i

syxj est la somme de ^'x^ et de la centième partie da terme qui précède A^xJ dans la série des A*;

d^xj se compose de la sixième partie de ^(â?,)* de la moitié du terme calculé pour obtenir ^^x^ et de la dixième partie de l'expression

dont les trois termes sont connus.

ApplicatioD de la méttiode précédente.